Tìm các giới hạn sau:
a) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}$ b) $\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+4x+3}{\sqrt{x^3+x^2}}$ c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{\frac{4-4x^3}{3x^2+5x}}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 73:

a) Chia tử và mẫu cho $\sqrt{x}$ (với $x\to 0^{+}$, $x>0$):
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{0+1}{0-1}=-1.$$

b) Với $x\to (-1{)}^{+}$ thì $x<0$ và $x+1>0$, nên $\sqrt{x^3+x^2}=\sqrt{x^2(x+1)}=|x|\sqrt{x+1}=-x\sqrt{x+1}$. Khi đó
$$\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+4x+3}{\sqrt{x^3+x^2}}=\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }\frac{(x+1)(x+3)}{-x\sqrt{x+1}}=\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }\left(-\frac{(x+3)\sqrt{x+1}}{x}\right)=-\frac{(2)\cdot 0}{-1}=0.$$

c) Với $x\to -\infty$, xét biểu thức trong căn:
$$\frac{4-4x^3}{3x^2+5x}=\frac{x^3\left(\frac{4}{x^3}-4\right)}{x^2\left(3+\frac{5}{x}\right)}=x\cdot \frac{\frac{4}{x^3}-4}{3+\frac{5}{x}}.$$
Khi $x\to -\infty$ thì $x\to -\infty$, còn $\frac{\frac{4}{x^3}-4}{3+\frac{5}{x}}\to \frac{-4}{3}<0$, do đó tích $x\cdot \frac{-4}{3}\to +\infty$. Vậy biểu thức trong căn tiến đến $+\infty$ (dương), nên
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{\frac{4-4x^3}{3x^2+5x}}=+\infty .$$