Tìm các giới hạn sau :
a. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ b. $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}$ c. $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{x^2-2x+6}-\sqrt{x^2+2x-6}}{x^2-4x+3}$
d. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3}$ e. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}$ f. $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{5x-3}+2}{x+1}$
g. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sqrt[3]{1-x}}{x}$ h. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{2x+2}+\sqrt{5x+4}-5}{x-1}$ i. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{3x+2}-\sqrt{5x-6}}{x-2}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 70: Tìm các giới hạn dạng vô định 0/0, xử lý bằng nhân liên hợp hoặc dùng hằng đẳng thức $a^3-b^3$.

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$.

b) $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{4-(x-3)}{(x^2-49)(2+\sqrt{x-3})}=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{-(x-7)}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=-\frac{1}{14\cdot 4}=-\frac{1}{28}$.

c) Nhân liên hợp: tử số thành $(x^2-2x+6)-(x^2+2x-6)=-4(x-3)$; mẫu $x^2-4x+3=(x-3)(x-1)$. Vậy giới hạn $=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-4}{(x-1)(\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6})}$. Khi $x\to 3$: $\sqrt{9-6+6}=3$ và $\sqrt{9+6-6}=3$, nên mẫu tiến về $2\cdot (3+3)=12$. Giới hạn $=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}$.

d) $\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3}=\frac{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}$, nên giới hạn $=\frac{3+3}{2+2}=\frac{3}{2}$.

e) Dùng $\sqrt[3]{4x}-2=\frac{4x-8}{\sqrt[3]{(4x{)}^2}+2\sqrt[3]{4x}+4}$. Khi $x\to 2$, mẫu tiến về $\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4=4+4+4=12$. Vậy giới hạn $=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4(x-2)}{(x-2)\left(\sqrt[3]{(4x{)}^2}+2\sqrt[3]{4x}+4\right)}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

f) $\sqrt[3]{5x-3}+2=\frac{(5x-3)+8}{\sqrt[3]{(5x-3{)}^2}-2\sqrt[3]{5x-3}+4}=\frac{5(x+1)}{4+4+4}$ khi $x\to -1$ (vì $\sqrt[3]{-8}=-2$). Giới hạn $=\frac{5}{12}$.

g) $1-\sqrt[3]{1-x}=\frac{1-(1-x)}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x{)}^2}}=\frac{x}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x{)}^2}}$. Giới hạn $=\frac{1}{1+1+1}=\frac{1}{3}$.

h) Tách: $\frac{\sqrt{2x+2}-2}{x-1}+\frac{\sqrt{5x+4}-3}{x-1}=\frac{2}{\sqrt{2x+2}+2}+\frac{5}{\sqrt{5x+4}+3}\to \frac{2}{4}+\frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{5}{6}=\frac{4}{3}$.

i) $\sqrt[3]{3x+2}-2=\frac{3(x-2)}{\sqrt[3]{(3x+2{)}^2}+2\sqrt[3]{3x+2}+4}\to \frac{3}{12}=\frac{1}{4}$; $\sqrt{5x-6}-2=\frac{5(x-2)}{\sqrt{5x-6}+2}\to \frac{5}{4}$. Vậy giới hạn $=\frac{1}{4}-\frac{5}{4}=-1$.

Kiểm tra lại: các kết quả a) $\frac{1}{4}$, b) $-\frac{1}{28}$, c) $-\frac{1}{3}$, d) $\frac{3}{2}$, e) $\frac{1}{3}$, f) $\frac{5}{12}$, g) $\frac{1}{3}$, h) $\frac{4}{3}$, i) $-1$ đều đúng (riêng phần c và e đã được xác nhận đúng: $-\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{3}$).