Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+x+1& khix\ge 1\\ 2x+4& khix<1\end{array}$ trên tập xác định của nó.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Với $x\ne 1$, $f(x)$ là hàm đa thức (hoặc hàm tuyến tính) nên liên tục trên $(-\infty ;1)$ và $[1;+\infty )$. Chỉ cần xét tại $x=1$:
- $f(1)=1^3+1+1=3$.
- ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x^3+x+1)=3$.
- ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(2x+4)=6$.
Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ nên $f$ không có giới hạn tại $x=1$, do đó $f$ không liên tục tại $x=1$. Kết luận: $f$ liên tục trên $(-\infty ;1)\cup [1;+\infty )$ và gián đoạn tại $x=1$.