Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục $MN$. Biết rằng $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=6\text{ cm}$, $AD=10\text{ cm}$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$, hai đường cong là đường elip có hình chữ nhật cơ sở là $ABCD$ và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh $AD$ và $BC$ (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích của vật trang trí đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a;x=b$ ($a<b$). Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây?

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=e^x$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=0;x=1$ quanh trục $Ox$ ta được vật thể tròn xoay có thể tích $V=\frac{\pi }{a}\left(e^2+b\right)$. Hỏi $a+b$ bằng bao nhiêu?

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y=e^x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành là

Người ta thiết kế của một thùng rượu có bán kính các đáy là $0,3\text{m}$, chiều cao là $1\text{m}$ bằng cách quay quanh trục hoành một miền phẳng $(H)$ là phần gạch sọc như hình bên dưới, trong đó $SO=0,4\text{m}$. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol. Thể tích của thùng rượu (đơn vị: ${\text{dm}}^3$) là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{9x+7}$, trục hoành và các đường thẳng $x=2;x=7$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục $Ox$ là

Một người thiết kế mô hình một cái đèn ngủ bằng nhựa có hình dạng như hình vẽ 3D ở hình 1. Hình 2 là mặt cắt bởi mặt phẳng cắt đi qua trục của đèn, hình 3 là bản vẽ toán học. Tam giác $ABC$ trong hình 3 là tam giác đều cạnh $4\sqrt{3}\text{ dm}$ và $M,N,P$ là trung điểm các cạnh, $G$ là trọng tâm của tam giác. Phần tô đậm trong hình 3 được tạo bởi giao nhau của các cặp cung tròn đi qua 3 điểm là: $AGB$ và $AGC$, $PGN$ và $PGM$, $PGN$ và $NGM$ (xem hình vẽ). Biết rằng chiếc đèn ngủ được tạo thành khi xoay phần tô đậm trong hình 3 quanh trục là đường thẳng $AM$. Tính thể tích của mô hình cái đèn ngủ này (làm tròn đến 3 chữ số thập phân).


*Hình 1: Vật thể 3D*


*Hình 2: Mặt cắt qua trục*


*Hình 3: Bản vẽ toán học*