Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=e^x$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=0;x=1$ quanh trục $Ox$ ta được vật thể tròn xoay có thể tích $V=\frac{\pi }{a}\left(e^2+b\right)$. Hỏi $a+b$ bằng bao nhiêu?

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y=e^x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành là

Người ta thiết kế của một thùng rượu có bán kính các đáy là $0,3\text{m}$, chiều cao là $1\text{m}$ bằng cách quay quanh trục hoành một miền phẳng $(H)$ là phần gạch sọc như hình bên dưới, trong đó $SO=0,4\text{m}$. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol. Thể tích của thùng rượu (đơn vị: ${\text{dm}}^3$) là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{9x+7}$, trục hoành và các đường thẳng $x=2;x=7$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục $Ox$ là

Một người thiết kế mô hình một cái đèn ngủ bằng nhựa có hình dạng như hình vẽ 3D ở hình 1. Hình 2 là mặt cắt bởi mặt phẳng cắt đi qua trục của đèn, hình 3 là bản vẽ toán học. Tam giác $ABC$ trong hình 3 là tam giác đều cạnh $4\sqrt{3}\text{ dm}$ và $M,N,P$ là trung điểm các cạnh, $G$ là trọng tâm của tam giác. Phần tô đậm trong hình 3 được tạo bởi giao nhau của các cặp cung tròn đi qua 3 điểm là: $AGB$ và $AGC$, $PGN$ và $PGM$, $PGN$ và $NGM$ (xem hình vẽ). Biết rằng chiếc đèn ngủ được tạo thành khi xoay phần tô đậm trong hình 3 quanh trục là đường thẳng $AM$. Tính thể tích của mô hình cái đèn ngủ này (làm tròn đến 3 chữ số thập phân).


*Hình 1: Vật thể 3D*


*Hình 2: Mặt cắt qua trục*


*Hình 3: Bản vẽ toán học*

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=x^3+3,y=0,x=0,x=2$. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 6. Một vật thể dùng để trang trí nội thất có dạng như hình (H1) bên dưới. Đây là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(R)$ (phần gạch chéo trong hình (H2)) quanh trục $AB$. Hình phẳng $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,AD$ của hình vuông $ABCD$ tâm $I$, độ dài cạnh $4\text{ cm}$ và các cung phần tư $DI,IB$ của các đường tròn bán kính bằng $2\text{ cm}$ với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD,AB$. Thể tích của vật thể (H1) bằng bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?