Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một giờ bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc $4(\text{km})$ và về phía Tây $3(\text{km})$, đồng thời cách mặt đất $1,5(\text{km})$. Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Đông $3(\text{km})$ và về phía Nam $2(\text{km})$, đồng thời cách mặt đất $1(\text{km})$. Hỏi sau $1$ giờ bay, hai chiếc máy bay cách nhau bao nhiêu $\text{km}$?

Tại khu bảo tồn biển Hòn Mun, Viện Hải dương học thiết lập một trạm nghiên cứu ngầm mang hình dáng một khối cầu bảo vệ $(S)$. Trong hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị: chục mét), mặt cầu $(S)$ có phương trình: $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=9$. Hai trạm thu phát tín hiệu phụ được neo cố định dưới đáy biển tại các vị trí $A(7;7;7)$ và $B(4;4;1)$. Để kết nối mạng lưới, các kỹ sư cần khoan một cổng kết nối cáp quang tại vị trí $M$ nằm trên bề mặt khối cầu bảo vệ $(S)$ để kéo cáp đến $A$ và $B$. Do yêu cầu về băng thông của trạm $B$ cao gấp đôi trạm $A$, nên tổng chi phí lắp đặt và độ suy hao tín hiệu $P$ được mô hình hóa theo công thức: $P=M{A}^2+2M{B}^2$. Tính giá trị nhỏ nhất của $P$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(-2;1;5)$ và $\vec{v}=(m-2;3;m+1)$, $m$ là tham số. Tìm $m$ để $\vec{u}$ vuông góc với $\vec{v}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}(1;2;4),\vec{v}(4;2;-2)$. Khẳng định nào sau đây là **đúng**?

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;1;1),B(-3;2;4),C(0;4;5),D(m;0;2m)$. Tìm giá trị dương của $m$ để khối tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $\frac{17}{2}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$; cho hai vectơ $\vec{m}=(1;1;4)$, $\vec{n}=(4;1;1)$. Vectơ nào dưới đây vuông góc với cả hai vectơ $\vec{m}$ và $\vec{n}$?

Một phòng trưng bày nghệ thuật dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với kích thước: dài $AD=8$ mét, rộng $AB=6$ mét, cao $A{A}^{\prime }=4$ mét. Kỹ sư thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ để số hóa căn phòng như sau: Gốc tọa độ $O(0;0;0)$ đặt tại $A$; các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt trùng với các cạnh $AD,AB,A{A}^{\prime }$ (chiều dương lần lượt từ $A$ đến $D$, từ $A$ đến $B$, từ $A$ đến $A^{\prime }$) (Đơn vị trên các trục tọa độ là mét). Hệ thống giám sát gồm một camera gắn tại tâm $S$ của mặt trần $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và một cảm biến hồng ngoại gắn tại đỉnh $C$ (đỉnh đối diện với $A$ trên mặt sàn $ABCD$). Camera đang giám sát một bức tranh được treo chính giữa bức tường $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$, gọi $P$ là tâm của bức tranh (cũng là tâm của hình chữ nhật $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$).