Ông Bình muốn làm một cánh cổng cho ngôi nhà của mình. Ông dự định thiết kế cổng gồm hai phần: Phần dưới là một hình chữ nhật và phần trên có hình bán nguyệt (một nửa hình tròn như hình vẽ). Biết chu vi của cổng (không tính đoạn $AB$) là $8\text{m}$. Tính diện tích lớn nhất của cánh cổng đó (kết quả tính theo đơn vị ${\text{m}}^2$ và làm tròn đến hàng phần trăm).

Một công ty sản xuất hai sản phẩm là sản phẩm A và sản phẩm B. Biết số tiền thu được khi bán sản phẩm A là $50000\text{ đoˆˋng/sản phẩm}$; số tiền thu được khi bán từ 1 đến 100 sản phẩm B là $55000\text{ đoˆˋng/sản phẩm}$, từ 101 đến 200 sản phẩm B là $54000\text{ đoˆˋng/sản phẩm}$, từ 201 đến 300 sản phẩm B là $53000\text{ đoˆˋng/sản phẩm}$… số tiền thu được khi bán thêm 100 sản phẩm B giảm đúng $1000\text{ đoˆˋng/sản phẩm}$ so với 100 sản phẩm đã bán ngay trước đó. Biết chi phí khi sản xuất sản phẩm cả A và B đều là $30000\text{ đoˆˋng/sản phẩm}$. Giả sử trong một tuần tổng hai sản phẩm của công ty sản xuất và bán ra đúng $2000$. Trong một tuần mức lợi nhuận của công ty có thể đạt được lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 4. Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích $V$ (tính theo lít) của lượng xăng trong bình xăng được tính theo thời gian bơm xăng $t$ (phút) được cho bởi công thức: $V(t)=300\left(t^2-t^3\right)+4,5$ với $0\le t\le 0,5$. Gọi $V^{\prime }(t)$ là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm $t$ với $0\le t\le 0,5$. Biết $1$ lít xăng có giá là $21.000$ đồng.

Câu 1. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $300$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 300$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=-2x^2+1312x$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x)=x^2-77x+1000+\frac{40000}{x}$ (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp (tính theo đơn vị triệu đồng) đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 6. Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng $2\text{ m}$. Người ta thiết kế một hình lục giác đều và sáu hình chữ nhật ở phía ngoài lục giác có một cạnh bằng cạnh của lục giác, một cạnh bằng $x$ (mét) với $0<x<\frac{2}{3}$. Sau đó người ta cắt theo nét đứt đoạn để thu được hình hợp bởi một lục giác đều và sáu hình chữ nhật. Sau đó gấp các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ lục giác đều (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu đề-xi-mét khối (${\text{dm}}^3$) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 3. Một công ty công nghệ cung cấp gói lưu trữ dữ liệu doanh nghiệp với giá niêm yết $200.000$ đồng/tháng và đang có $400$ khách hàng. Phòng kinh doanh xác định được quy luật: Cứ giảm giá $10.000$ đồng thì sẽ có thêm $50$ khách hàng mới. Tuy nhiên, do hiện tượng quá tải băng thông, chi phí vận hành $C(n)$ (nghìn đồng) không cố định mà biến thiên theo hàm bậc hai của số lượng khách hàng $n$, được xác định bởi công thức: $C(n)=28n+0,01n^2+15.000$. Công ty cần chốt giá bán bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận đạt mức tối đa?

Một hộ làm nghề dệt vải tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa ($1\le x\le 18$). Tổng chi phí để sản xuất $x$ mét vải lụa (tính bằng ngàn đồng) cho bởi hàm chi phí $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$. Giả sử hộ gia đình này bán hết sản phẩm ở mỗi ngày với giá $220$ ngàn đồng/mét. Tính số tiền (đơn vị ngàn đồng) lợi nhuận tối đa mà hộ gia đình này có thể nhận được.