Một hộ làm nghề dệt vải tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa ($1\le x\le 18$). Tổng chi phí để sản xuất $x$ mét vải lụa (tính bằng ngàn đồng) cho bởi hàm chi phí $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$. Giả sử hộ gia đình này bán hết sản phẩm ở mỗi ngày với giá $220$ ngàn đồng/mét. Tính số tiền (đơn vị ngàn đồng) lợi nhuận tối đa mà hộ gia đình này có thể nhận được.

Một nhà máy sản xuất $x$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi hàm chi phí $C(x)=1600+500x-1,6x^2+0,004x^3$ (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm $x$ và được cho bởi công thức $p(x)=1700-7x$ (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất, biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết?

Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $200{\text{ m}}^3$, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là $300.000$ đồng/${\text{m}}^2$. Chi phí xây dựng thấp nhất là

Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s(t)=t^2-\frac{1}{6}{t}^3$ (m). Tìm thời điểm $t$ (giây) mà tại đó vận tốc $v$ (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Trong một góc nhà xưởng, nền và hai vách vuông góc đôi một; đỉnh cọc tiếp địa là $A$ có khoảng cách vuông góc đến nền, vách 1, vách 2 lần lượt $45\text{cm}$, $75\text{cm}$, $75\text{cm}$. Người thợ lắp một tấm ván khuôn (coi như một mặt phẳng) đi qua $A$, các mép tấm ván áp sát và bịt kín với nền và hai vách để tạo một khối bê tông dạng tứ diện (có ba mặt trùng với nền và hai vách). Tính thể tích nhỏ nhất của khối bê tông (đơn vị ${\text{m}}^3$) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một nhà máy tung ra thị trường dòng drone phun thuốc tự động. Nhà máy có công suất tối đa $350$ chiếc/quý. Phòng kinh doanh đưa ra hai tham số tài chính quan trọng cho việc sản xuất và tiêu thụ hết $x$ chiếc drone ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x\le 350$) trong một quý như sau:
Giá bán mỗi chiếc drone được xác định theo hàm cầu: $P(x)=120-0,2x$ (đơn vị: triệu đồng/chiếc).
Chi phí vận hành cố định: $1000$ triệu đồng. Chi phí linh kiện: Giá gốc là $50$ triệu đồng/chiếc, nếu sản xuất trên $100$ chiếc thì chi phí linh kiện giảm xuống chỉ còn $40$ triệu đồng/chiếc (áp dụng cho toàn bộ lô hàng). Lợi nhuận sau thuế nhà máy lớn nhất đạt bao nhiêu triệu đồng? (Biết thuế $10\%$ tính trên lợi nhuận dương).

Câu 2. Một hợp tác xã nông nghiệp dự định đầu tư hệ thống nhà màng trồng dưa lưới công nghệ cao với tổng diện tích là $x$ (đơn vị: $1000{\text{ m}}^2$). Qua khảo sát thị trường và kỹ thuật, các chỉ số tài chính được dự báo như sau:
- Chi phí đầu tư ban đầu (xây dựng nhà màng, hệ thống tưới): $C_1(x)=500+120x$ (triệu đồng).
- Doanh thu dự kiến hàng năm: $R(x)=60x-0,5x^2$ (triệu đồng/năm).
- Chi phí vận hành hàng năm (cây giống, phân bón, điện nước, nhân công): $C_2(x)=8+4x+0,1x^2$ (triệu đồng/năm).
Hãy xác định diện tích $x$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục) để tối đa hóa tỷ lệ lợi nhuận hàng năm trên chi phí đầu tư ban đầu.