Trong một góc nhà xưởng, nền và hai vách vuông góc đôi một; đỉnh cọc tiếp địa là $A$ có khoảng cách vuông góc đến nền, vách 1, vách 2 lần lượt $45\text{cm}$, $75\text{cm}$, $75\text{cm}$. Người thợ lắp một tấm ván khuôn (coi như một mặt phẳng) đi qua $A$, các mép tấm ván áp sát và bịt kín với nền và hai vách để tạo một khối bê tông dạng tứ diện (có ba mặt trùng với nền và hai vách). Tính thể tích nhỏ nhất của khối bê tông (đơn vị ${\text{m}}^3$) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2. Một hợp tác xã nông nghiệp dự định đầu tư hệ thống nhà màng trồng dưa lưới công nghệ cao với tổng diện tích là $x$ (đơn vị: $1000{\text{ m}}^2$). Qua khảo sát thị trường và kỹ thuật, các chỉ số tài chính được dự báo như sau:
- Chi phí đầu tư ban đầu (xây dựng nhà màng, hệ thống tưới): $C_1(x)=500+120x$ (triệu đồng).
- Doanh thu dự kiến hàng năm: $R(x)=60x-0,5x^2$ (triệu đồng/năm).
- Chi phí vận hành hàng năm (cây giống, phân bón, điện nước, nhân công): $C_2(x)=8+4x+0,1x^2$ (triệu đồng/năm).
Hãy xác định diện tích $x$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục) để tối đa hóa tỷ lệ lợi nhuận hàng năm trên chi phí đầu tư ban đầu.

Câu 3. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 400$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là $F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là $\frac{100000x}{x^3+1}$ (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là $H(x)=2x^3+100000x-50000$ (đồng), nhưng do doanh nghiệp mua với số lượng lớn nên được ưu đãi giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu tiên và giảm 2% cho các sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 500$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng). Trong đó chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là $G(x)=\frac{200000x}{3x+2}$ (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là $H(x)=2x^3+100000x-50000$ (đồng), nhưng do doanh nghiệp mua nguyên vật liệu với số lượng lớn nên được giảm $2\%$ cho 180 sản phẩm đầu tiên và giảm $3\%$ cho các sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một doanh nghiệp sản xuất đồ gỗ nội thất cần mỗi ngày 5 khối gỗ để làm các sản phẩm nội thất. Chi phí một lần vận chuyển gỗ từ cơ sở cung cấp gỗ đến nơi sản xuất của doanh nghiệp là 8 triệu đồng, chi phí lưu kho tại doanh nghiệp của 1 khối gỗ là 200 ngàn đồng trên 1 ngày. Mỗi lần vận chuyển, gỗ sẽ được đưa đến đầu ngày làm việc và lượng gỗ được vận chuyển vừa đủ cho doanh nghiệp sử dụng từ ngày hôm đó cho đến lần vận chuyển tiếp theo. Hỏi doanh nghiệp cần vận chuyển gỗ mấy ngày một lần để chi phí trung bình trong một ngày là nhỏ nhất?

Trong một buổi tập luyện của lính đặc công, một chiến sỹ cần phối hợp bơi và chạy bộ để từ điểm A ở bờ sông bên này đến điểm B về phía hạ lưu của bờ sông bên kia (tham khảo hình vẽ bên dưới). Chiến sỹ dự định bơi thẳng từ điểm A đến một điểm thuộc đoạn HB sau đó chạy từ điểm đó về điểm B. Biết $AH=300\text{ m},HB=900\text{ m}$, vận tốc dòng nước là $1\text{ m/s}$, vận tốc bơi của chiến sỹ đối với nước là $1\text{ m/s}$ và vận tốc chạy trên bờ của chiến sỹ là $3\text{ m/s}$. Hỏi chiến sỹ cần ít nhất bao nhiêu giây để hoàn thành kế hoạch trên? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho nửa đường tròn có bán kính bằng $10$. Hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên cung tròn và hai đỉnh nằm trên đường kính (tham khảo hình vẽ) có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?