Câu 21THPTChuyên đề: Tối ưu thực tế bằng đạo hàm • Lớp 12Tổng hiệu và tích vectơ với sốVận dụng cao#Toán 12#Khảo sát hàm số
Trong một buổi tập luyện của lính đặc công, một chiến sỹ cần phối hợp bơi và chạy bộ để từ điểm A ở bờ sông bên này đến điểm B về phía hạ lưu của bờ sông bên kia (tham khảo hình vẽ bên dưới). Chiến sỹ dự định bơi thẳng từ điểm A đến một điểm thuộc đoạn HB sau đó chạy từ điểm đó về điểm B. Biết , vận tốc dòng nước là , vận tốc bơi của chiến sỹ đối với nước là và vận tốc chạy trên bờ của chiến sỹ là . Hỏi chiến sỹ cần ít nhất bao nhiêu giây để hoàn thành kế hoạch trên? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Trong một buổi tập luyện của lính đặc công, một chiến sỹ cần phối hợp bơi và chạy bộ để từ điểm A ở bờ sông bên này đến điểm B về phía hạ lưu của bờ sông bên kia (tham khảo hình vẽ bên dưới). Chiến sỹ dự định bơi thẳng từ điểm A đến một điểm thuộc đoạn HB sau đó chạy từ điểm đó về điểm B. Biết , vận tốc dòng nước là , vận tốc bơi của chiến sỹ đối với nước là và vận tốc chạy trên bờ của chiến sỹ là . Hỏi chiến sỹ cần ít nhất bao nhiêu giây để hoàn thành kế hoạch trên? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án chính thức: 473
Hướng dẫn giải chi tiết
Gọi là vectơ vận tốc bơi của chiến sỹ đối với nước () và là vectơ vận tốc dòng nước (, hướng dọc theo bờ từ đến ).
Khi đó vectơ vận tốc thực tế của chiến sỹ đối với bờ là .
Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng chứa và với bờ sông .
Đặt (). Ta có tam giác vuông tại nên .
Thời gian bơi đối với nước:
.
Vì tam giác đồng dạng với tam giác nên .
Do đó quãng đường chạy bộ trên bờ là:
.
Thời gian chạy bộ là:
.
Tổng thời gian hoàn thành kế hoạch là:
.
Xét đạo hàm:
.
Thay vào hàm thời gian:
.
Khi đó vectơ vận tốc thực tế của chiến sỹ đối với bờ là .
Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng chứa và với bờ sông .
Đặt (). Ta có tam giác vuông tại nên .
Thời gian bơi đối với nước:
.
Vì tam giác đồng dạng với tam giác nên .
Do đó quãng đường chạy bộ trên bờ là:
.
Thời gian chạy bộ là:
.
Tổng thời gian hoàn thành kế hoạch là:
.
Xét đạo hàm:
.
Thay vào hàm thời gian:
.
