Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $1$. Cung $AC$ là một phần tư đường tròn tâm $D$, bán kính $AD$. Giả sử $P$ là điểm thay đổi trên cung $AC$ ($P$ khác $A$ và $C$). Tiếp tuyến tại điểm $P$ của cung $AC$ cắt các đoạn thẳng $AB,BC$ theo thứ tự tại các điểm $M,N$. Diện tích lớn nhất của tam giác $BMN$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
[IMAGE:img_q21_square]

Câu 3. Một xe khách đi từ Long Khánh đến Vũng Tàu chở tối đa được là $45$ hành khách một chuyến. Nếu một chuyến chở được $m$ hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách được tính là ${\left(300-\frac{5m}{2}\right)}^2$ đồng. Gọi $x$ là số hành khách trên mỗi chuyến xe và số tiền thu được của mỗi chuyến xe là $F(x)$ $(0<x\le 45)$.

Câu 3. Thể tích nước của một bể bơi sau $t$ phút bơm được tính theo công thức $V(t)=\frac{1}{100}\left(30t^3-\frac{t^4}{4}\right)$ với $0<t<90$. Tốc độ bơm nước ở thời điểm $t$ được tính theo công thức $v(t)=V^{\prime }(t)$. Tìm tốc độ bơm nước lớn nhất?

Câu 4. Từ hình vuông có cạnh bằng $6\text{ cm}$, người ta cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó người ta gập thành hình hộp chữ nhật không nắp. Thể tích lớn nhất của khối hộp đó bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$? (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

[Hình 1]

Một nhà máy sản xuất $x$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi hàm chi phí $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm $x$ và được cho bởi công thức $p(x)=1700-7x$ (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt tiêu chí sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất. Hỏi khi nhà sản xuất muốn thể tích của hộp sữa là $V{\text{ cm}}^3$, thì diện tích toàn phần của lon sữa nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{2}$, $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90^{\circ }$. Khi độ dài cạnh $AB$ thay đổi, thể tích khối chóp $S.ABC$ có giá trị nhỏ nhất bằng: