Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{2}$, $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90^{\circ }$. Khi độ dài cạnh $AB$ thay đổi, thể tích khối chóp $S.ABC$ có giá trị nhỏ nhất bằng:

Câu 4. Một cơ sở sản xuất xà phòng thủ công đang bán mỗi bánh xà phòng với giá $30000$ đồng và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $5000$ bánh xà phòng. Cơ sở đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá $30000$ đồng mà cứ tăng giá lên $1000$ đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn $100$ bánh. Biết vốn sản xuất một bánh xà phòng không thay đổi là $18000$ đồng. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

Câu 4. Anh An cần làm một bể kính cá cảnh có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc trưng bày bán cá cảnh tại cửa hàng. Do các điều kiện về diện tích cửa hàng và kệ trưng bày, anh An cần bể có thể tích bằng $2{\text{ m}}^3$. Trên thị trường, giá kính làm đáy bể là $250000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và giá kính làm thành xung quanh bể là $160000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Hỏi anh An cần làm bể kính với cạnh đáy bằng bao nhiêu mét để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất, biết đáy bể kính là hình vuông và các mối nối không đáng kể (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 6. Một công ty sản xuất vật tư y tế muốn bán sản phẩm mới là máy đo huyết áp, nhằm tạo điều kiện cho các đại lý giá tiêu thụ hợp lí, đơn giá mỗi máy huyết áp được biểu diễn bằng hàm $p(x)=400-3x$ (nghìn đồng) với $x$ là số lượng máy bán ra, tổng chi phí sản xuất được biểu diễn theo hàm $C(x)=115+(160+T)x-x^2$ (nghìn đồng) với mọi $x$ thoả mãn $0\le x\le 60$, trong đó $T$ (nghìn đồng) là mức thuế phụ thu phải đóng trên $1$ máy bán được mà công ty phải chi trả. Xem như công ty sản xuất đều đặn trong điều kiện lý tưởng, khi lợi nhuận của công ty đạt giá trị cao nhất thì tổng mức thuế phải chi trả cũng đồng thời cao nhất. Khi đó mức thuế của mỗi máy đo huyết áp mà công ty phải trả là bao nhiêu (nghìn đồng)?

Một tàu thuỷ chạy trên biển có tốc độ tối đa là $30$ km/h. Chi phí về nhiên liệu của con tàu đó bao gồm hai phần: Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và có chi phí bằng $280$ nghìn đồng/giờ; phần thứ hai có chi phí trên một kilômét đường đi tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc đi trên quãng đường đó và khi vận tốc $v=10$ km/h thì chi phí phần thứ hai bằng $30$ nghìn đồng/giờ. Để chi phí nhiên liệu trên một kilômét đường đi là nhỏ nhất thì vận tốc của tàu (tính theo đơn vị km/h) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Bác Bình sử dụng một khúc gỗ hình trụ có đường kính bằng 32 cm để làm một chiếc xà nhà. Để đảm bảo tính thẩm mĩ thì bác Bình dự định sẽ cho thợ xẻ khúc gỗ thành một chiếc xà có tiết diện ngang (là miền gạch sọc như hình vẽ bên) bao gồm một hình vuông $ABCD$ và 4 miếng phụ là 4 hình chữ nhật bằng nhau. Bốn điểm $A,B,C,D$ nằm trên đường tròn $(T)$; miếng phụ $MNPQ$ có hai đỉnh $M,N$ nằm trên đường tròn $(T)$ và hai đỉnh $P,Q$ nằm trên cạnh $AB$. Mặt khác, diện tích của tiết diện ngang càng lớn thì chiếc xà chịu lực càng tốt. Hỏi bác Bình có thể tạo ra một tiết diện ngang có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu centimet vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 3. Một công ty tính toán rằng nếu chi số tiền $x$ nghìn USD cho việc quảng cáo thì doanh thu sẽ là $P(x)=\frac{-x^3}{10}+6x^2+x+200$ nghìn USD. Hỏi công ty thu được lợi nhuận tối đa là bao nhiêu nghìn USD từ việc quảng cáo đó?