Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(2;-2;2)$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z+2{)}^2=1$. Điểm $M$ di chuyển trên mặt cầu $(S)$ đồng thời thỏa mãn $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AM}=6$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng nào sau đây?

Câu 2: Một tàu thăm dò AUV tự hành đang hoạt động dưới biển sâu. Hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập với mặt nước biển yên tĩnh là mặt phẳng $(Oxy)$, trục $Oz$ hướng thẳng đứng xuống dưới, đơn vị tính bằng hectomet. AUV bắt đầu hành trình từ vị trí $A(8;6;1)$ và dự định di chuyển theo đường thẳng đến vị trí cuối $B(4;-2;2)$. Trong hành trình của mình, AUV cần tránh một khu vực nhạy cảm hình cầu $(S)$, tâm tại điểm $K(2;-4;2)$, bán kính $R=2\text{ hectomet}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA=a\sqrt{6}$ và vuông góc với đáy $(ABCD)$. Tính theo $a$ diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-2=0$ và điểm $I(-1;2;-1)$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính $r=5$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(-3;3;-3)$ thuộc mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y+z+15=0$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-5{)}^2=100$. Đường thẳng $\Delta$ qua $M$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ và cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho độ dài $AB$ nhỏ nhất. Tìm một vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của $\Delta$.

Diện tích mặt cầu có bán kính $r=2$ bằng

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $O$, bán kính $R=3$. Một mặt phẳng $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ sao cho khoảng cách từ điểm $O$ đến $(P)$ bằng 1. Chu vi đường tròn $(C)$ bằng