Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(-2;1;5)$ và $\vec{v}=(m-2;3;m+1)$, $m$ là tham số. Tìm $m$ để $\vec{u}$ vuông góc với $\vec{v}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị trên mỗi trục là $\text{km}$), một trạm kiểm soát hải quân phát hiện một chiếc tàu lạ ở vị trí $A(9;12;0)$ đang di chuyển theo hướng véc-tơ ${\vec{v}}_1=(-3;4;0)$ với vận tốc $30\text{ km/h}$. Ngay lập tức, trạm kiểm soát điều khiển một máy bay không người lái đang ở vị trí $B(0;0;1)$ di chuyển theo hướng véc-tơ ${\vec{v}}_2=(5;12;0)$ với vận tốc $130\text{ km/h}$ để tiếp cận chiếc tàu lạ đó. Hỏi sau bao nhiêu phút thì khoảng cách giữa máy bay không người lái và chiếc tàu lạ đó ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Nhân ngày Khai giảng năm học mới, các chú bảo vệ của trường THPT A dùng dây thừng có gắn đủ màu sắc để trang trí. Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục tọa độ là mét, mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên trời. Có ba cây cột được cắm trên sân trường, trong đó:
- Chân của cột 1 (chiều cao $10\text{ m}$) nằm ở gốc tọa độ;
- Chân của cột 2 (chiều cao $15\text{ m}$) nằm trên trục $Ox$;
- Chân của cột 3 (chiều cao $20\text{ m}$) nằm trên trục $Oy$;
- Khoảng cách từ cột 1 đến cột 2 là $30\text{ m}$ và khoảng cách từ cột 2 đến cột 3 là $50\text{ m}$.
Để trang trí cho ngày lễ, chú bảo vệ sẽ:
- Nối dây từ đỉnh cột 2 xuống mặt đất rồi lại nối lên đỉnh cột 1;
- Từ đỉnh cột 1 kéo dây nối xuống mặt đất rồi tiếp lên đỉnh cột 3.
Gọi $A(x;y;z)$ và $B(a;b;c)$ là hai vị trí chạm đất của dây thừng. Gọi $T$ là tổng chiều dài sợi dây ngắn nhất sau khi nối từ đỉnh cột 2 đến đỉnh cột 3. Tính giá trị $x+y+z+a+b+c+T$ (Không làm tròn các giá trị trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

[IMAGE:img_q22_poles]

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}(1;2;4),\vec{v}(4;2;-2)$. Khẳng định nào sau đây là **đúng**?

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;1;1),B(-3;2;4),C(0;4;5),D(m;0;2m)$. Tìm giá trị dương của $m$ để khối tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $\frac{17}{2}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;0;-1),B(-2;4;3),C(5;6;-1)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $P=M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a+b+c$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm nào dước đây là hình chiếu vuông góc của điểm
B ( 2; −1;5 ) trên trục Oz?