Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị trên mỗi trục là $\text{km}$), một trạm kiểm soát hải quân phát hiện một chiếc tàu lạ ở vị trí $A(9;12;0)$ đang di chuyển theo hướng véc-tơ ${\vec{v}}_1=(-3;4;0)$ với vận tốc $30\text{ km/h}$. Ngay lập tức, trạm kiểm soát điều khiển một máy bay không người lái đang ở vị trí $B(0;0;1)$ di chuyển theo hướng véc-tơ ${\vec{v}}_2=(5;12;0)$ với vận tốc $130\text{ km/h}$ để tiếp cận chiếc tàu lạ đó. Hỏi sau bao nhiêu phút thì khoảng cách giữa máy bay không người lái và chiếc tàu lạ đó ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Bạn đang đứng điều khiển Flycam từ sân thượng một quán cà phê ở vị trí $A(10;20;50)$ (độ cao $50$ mét so với mặt đất), coi tọa độ là mét trong không gian $Oxyz$. Mục tiêu là bay thẳng đến quay cận cảnh màn trình diễn đèn LED tại thân tòa tháp đối diện ở tọa độ $C(130;180;260)$ (Flycam bay theo đoạn thẳng $AC$). Do ban quản lý tòa tháp thiết lập vùng cấm bay xung quanh thiết bị đèn LED (tâm $C$) với bán kính an toàn là $40$ mét. Flycam phải dừng lại ngay khi chạm mép vùng này. Hỏi quãng đường Flycam bay được từ quán cà phê đến điểm dừng là bao nhiêu mét?

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $10\text{ km}$), hai khinh khí cầu $A$ và $B$ bay với vectơ vận tốc lần lượt là ${\vec{v}}_a=(1;2;0)$ và ${\vec{v}}_b=(-2;3;0)$ (đơn vị là $\text{km/giờ}$). Tại thời điểm $t=0$, vị trí của khinh khí cầu $A$ là $M(5;4;2)$ và vị trí của khinh khí cầu $B$ là $N(6;5;3)$. Hai khinh khí cầu sẽ bay trong 10 giờ tiếp theo và dừng lại.

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $100\text{ km}$. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh, trong đó bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(3;2;1)$, $B(2;6;4)$, $C(4;5;7)$ và $D(6;4;5)$. Giả sử lúc đầu vật $M$ ở $O$, sau đó $2$ phút cả bốn vệ tinh bắn tín hiệu về vật $M$ và đo được $MA=1,MB=5,MC=7$ và $MD=6$. Nếu coi như vật $M$ chuyển động thẳng đều thì tốc độ của vật $M$ bằng bao nhiêu (đơn vị: $\text{m/s}$)?

Hình vẽ dưới đây mô tả một căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=3\text{ m},B{B}^{\prime }=BC=4\text{ m}$, tại $C$ có một tổ kiến. Kiến 1 xuất phát từ $A^{\prime }$ bò về tổ với vận tốc $0,02\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $A^{\prime }B,BC$. Kiến 2 xuất phát từ $D$ bò về tổ với vận tốc $0,06\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $D{C}^{\prime },C^{\prime }C$. Biết rằng, hai con kiến xuất phát cùng một lúc. Hỏi khi kiến 2 còn cách tổ $1\text{ m}$ thì khoảng cách giữa hai con kiến là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
[IMAGE:img_q19_ants]

Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, độ dài trên các trục mỗi đơn vị bằng $1\text{ meˊt}$. Mặt đất được mô hình là mặt phẳng $Oxy$. Tại gốc tọa độ đặt bộ điều khiển Flycam với khoảng cách kết nối $100\text{ meˊt}$. Một Flycam xuất phát từ điểm $A(4;8;0)$ bay thẳng theo hướng $\vec{u}(3;2;3)$ với vận tốc $6\text{ m/s}$. Hỏi sau bao nhiêu giây (làm tròn đến hàng phần mười) thì Flycam không còn trong vùng điều khiển?

Trong một cuộc diễn tập phòng không, một bệ phóng tên lửa phòng không được đặt tại vị trí $O(0;0;0)$ *(trong không gian $Oxyz$ với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét)* có tầm bắn tối đa là $30\text{ km}$ và tên lửa được phóng ra với vận tốc không đổi $500\text{ m/s}$. Một máy bay không người lái bay theo một đường thẳng có vec tơ chỉ phương $\vec{u}=(3;-4;0)$ với vận tốc không đổi $900\text{ km/h}$. Khi phát hiện máy bay không người lái tại vị trí $A(6;-20;16)$ thì tên lửa rời bệ phóng, khai hỏa và đã bắn hạ được mục tiêu tại điểm $B$. Hỏi khoảng cách từ bệ phóng tên lửa đến vị trí máy bay không người lái bị bắn hạ bằng bao nhiêu ki-lô-mét? *(Giả sử cả máy bay không người lái và tên lửa đều bay theo đường thẳng và không chịu tác động của trọng lực hay lực cản không khí)*.