Có một cái chòi hình "chóp cong", trong đó mái chòi $(H)$ có dạng hình "chóp lục giác cong đều" như hình vẽ bên dưới. Đáy của $(H)$ là một hình lục giác đều tâm $O$, đường chéo qua tâm $O$ có độ dài là $10\text{ m}$, chiều cao $SO=10\text{ m}$ ($SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của $(H)$ là các sợi dây thép nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với $SO$. Giả sử hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của $(H)$ với mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với $SO$ là một lục giác đều. Biết rằng khi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua trung điểm của $SO$ thì lục giác đều có cạnh $l=2\text{ m}$.

[IMAGE:img_q16_hut]

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x\text{ (cm)}$ ($0\le x\le 16$) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $R=10+\sqrt{x}\text{ (cm)}$. Tìm $x$ (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng $\frac{1}{2}$ thể tích của chậu?

Một tòa nhà hình cánh buồm được minh họa bởi hình vẽ bên, tòa nhà có chiều cao $SO=320\text{ m}$ ($\text{m}$ là ký hiệu của mét), gồm $56$ tầng có tổng chiều cao là $OI=240\text{ m}$ và phần còn lại phía trên là không gian sân thượng. Mặt trước hình cánh buồm, được căng bởi hai cung parabol $SCA$ và $SDB$ giống hệt nhau có trục đối xứng vuông góc với đường thẳng $SO$, các parabol này nằm trong mỗi mặt bên của tòa nhà. Hai mặt bên $SOA$ và $SOB$ tạo với nhau một góc $60^{\circ }$. Mặt sàn tầng một có dạng hình quạt tròn tâm $O$ với bán kính $OA=60\text{ m}$, mái của tầng $56$ có dạng hình quạt tròn tâm $I$ với bán kính $IC=40\text{ m}$. Thiết diện ngang của tòa nhà đi qua một điểm $H$ bất kỳ trên đoạn $OI$ luôn là hình quạt có tâm là $H$. Tính thể tích của tòa nhà (chỉ tính phần chứa $56$ tầng) với đơn vị là nghìn mét khối và kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Một lều cắm trại có dạng như hình vẽ dưới, khung lều được tạo thành từ hai parabol giống nhau có chung đỉnh $O$ và thuộc hai mặt phẳng vuông góc nhau (một parabol đi qua $A,O,C$ và một parabol đi qua $B,D,O$), bốn chân tạo thành hình vuông $ABCD$ có cạnh là $2\sqrt{2}\text{ (m)}$, chiều cao tính từ đỉnh lều là $2\text{ (m)}$. Biết mặt cắt của lều khi cắt bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng $(ABCD)$ luôn là một hình vuông. Tính thể tích của lều (đơn vị là ${\text{m}}^3$).

Câu 3. Để làm một chân đế để trang trí, người ta thiết kế chân đế như sau: Lấy một khối gỗ dạng hình chóp cụt tứ giác đều với độ dài cạnh đáy nhỏ là $8\text{ cm}$, cạnh đáy lớn là $16\text{ cm}$, chiều cao $10\text{ cm}$. Sau đó khoét các mặt bên sao cho hình thu được vật thể $H$ có dạng như sau: Lấy một mặt cắt bất kì song song với đáy ta được mặt cắt là một “tứ giác cong” $MNPQ$, trong đó các đỉnh $M,N,P,Q$ là các giao điểm của mặt cắt lần lượt với các cạnh bên của hình chóp cụt ban đầu, các cung $MN,NP,PQ,QM$ là các đường có dạng parabol tiếp xúc với các đường chéo của hình vuông $MNPQ$ tại các đỉnh của hình vuông đó (xem hình dưới). Thể tích của vật $H$ là bao nhiêu ${\text{cm}}^3$? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-4\le x\le 4$), mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45^{\circ }$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt{16-x^2}$. Tính thể tích vật thể hình chiếc nêm trên *(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)*.

Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-2\le x\le 2$), mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45^{\circ }$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt{4-x^2}$. Tính thể tích vật thể hình chiếc nêm trên *(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)*.