Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $(m-3)x^2+(m+3)x-(m+1)\le 0$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $(m-3)x^2+(m+3)x-(m+1)\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

TH1: $m=3$ thì bất thức trở thành $6x-4\le 0$, không đúng với mọi $x$, loại.

TH2: $m\ne 3$. Để tam thức $\le 0$ với mọi $x$ cần $a=m-3<0$ và $\Delta \le 0$.
- $m-3<0\iff m<3$.
- $\Delta =(m+3{)}^2+4(m-3)(m+1)=m^2+6m+9+4m^2-8m-12=5m^2-2m-3\le 0$.
Phương trình $5m^2-2m-3=0$ có nghiệm $m=1$ và $m=-\frac{3}{5}$, nên $-\frac{3}{5}\le m\le 1$.

Kết hợp: $-\frac{3}{5}\le m\le 1$, các giá trị nguyên là $m\in \{0;1\}$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$.