Chọn ngẫu nhiên 4 số $a,b,c,d$ thuộc tập hợp $S=\{1,2,...,2025\}$. Tính xác suất để 4 số chọn ra thoả mãn $a^2+b^2+c^2+d^2$ chia hết cho 5. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Số dư bình phương mod 5 chỉ là $0,1,4$. Vì $2025=5\cdot 405$ nên mỗi lớp thặng dư mod 5 có 405 số: có 405 số có bình phương $\equiv 0(\mathrm{mod}5)$, 810 số có bình phương $\equiv 1$, 810 số có bình phương $\equiv 4(\mathrm{mod}5)$. Dùng tổng đặc trưng: số bộ có thứ tự $(a,b,c,d)$ với tổng bình phương chia hết cho 5 là $N=\frac{1}{5}\left[2025^4+{\sum }_{k=1}^4{\left(405(1+2{\omega }^k+2{\omega }^{4k})\right)}^4\right]$. Với $\omega$ là căn nguyên thủy bậc 5 của 1, ta có $1+2{\omega }^k+2{\omega }^{4k}=1+4\cos (2\pi k/5)$ có giá trị tuyệt đối $\sqrt{5}$ với mọi $k=1,2,3,4$, nên mỗi số hạng bằng $(405\sqrt{5}{)}^4=405^4\cdot 25$. Vậy $N=\frac{1}{5}\left[2025^4+4\cdot 25\cdot 405^4\right]=\frac{1}{5}\left[625\cdot 405^4+100\cdot 405^4\right]=101\cdot 405^4/5\cdot \dots$ chính xác $N=101\cdot 405^4/5\cdot (1/5)\dots$ tính lại: $N=(405^4/5)(625+100)=145\cdot 405^4$. Xác suất $P=N/2025^4=145\cdot 405^4/(625\cdot 405^4)=145/625=29/125=0.232$? Kiểm tra lại: $625+100=725$, $N=725\cdot 405^4/5=145\cdot 405^4$, $P=145/625=0.232$. Vậy $P=0.232$, làm tròn đến hàng phần trăm là $0.23$.