Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $12cm$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC$, $BC$ và $P$ là điểm trên cạnh $BD$ sao cho $BP=2PD$. Biết rằng mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $AD$ tại $Q$. Tính diện tích tứ giác $MNPQ$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị $c{m}^2$)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và tam giác $SAB$ đều. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $BM=x$ $(0<x<a)$. Đường thẳng $d$ đi qua $M$ và song song mặt phẳng $(SAB)$ cắt đường thẳng $AD$ tại điểm $N$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$ và song song mặt phẳng $(SAB)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SC$, lấy điểm $P\in SA$.
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt của hình chóp đã cho. Các giao tuyến đó tạo thành hình gì?
b) Gọi $J\in MN$. Chứng minh rằng $OJ\parallel (SAD)$.

Một khối đá có hình dạng là một hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Người thợ đá cần cắt viên đá ra thành hai phần bởi một mặt phẳng đi qua hai trung điểm $M$, $N$ của các cạnh bên $SA$, $SB$ và qua tâm $O$ của mặt đáy. Hỏi mặt phẳng $(MNO)$ cắt các mặt của khối đá theo một hình đa giác có bao nhiêu cạnh?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SBD$. Mặt phẳng $(MNG)$ cắt $SC$ tại điểm $H$. Tỉ số $\frac{SH}{SC}$ bằng bao nhiêu?

Câu 4 (3,5 điểm): Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và điểm $M$ di động trên cạnh $AB$ thỏa mãn $\frac{AM}{AB}=x$ $(0<x<1)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$ song song với các đường thẳng $A{C}^{\prime }$, $A^{\prime }B$ và cắt các cạnh $A{A}^{\prime }$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{B}^{\prime }$, $BC$ tương ứng tại các điểm $N$, $P$, $Q$, $K$.
a) Chứng minh giao điểm của $MN$ và $QK$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Nêu cách dựng các điểm $N$, $P$, $Q$, $K$.
b) Tính tỉ số $\frac{Q{B}^{\prime }}{Q{C}^{\prime }}$ khi $x=\frac{2}{3}$.
c) Trong trường hợp $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng 1, tìm giá trị lớn nhất của diện tích ngũ giác $MNPQK$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $A,M$ và song song với $SD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $SB$ tại $N$, tính tỉ số $\frac{SN}{SB}$.