Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $BCD$ vuông cân tại $B$ và $AB\perp (BCD)$. Cho biết $BC=a\sqrt{2},AB=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\perp (BCD)$ nên $B$ là hình chiếu của $A$ lên $(BCD)$. Hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ cắt nhau theo giao tuyến $CD$. Trong $(BCD)$, kẻ $BH\perp CD$ tại $H$; do $AB\perp (BCD)$ nên $CD\perp AB$, kết hợp $CD\perp BH$ suy ra $CD\perp (AHB)$, do đó $AH\perp CD$. Vậy góc giữa $(ACD)$ và $(BCD)$ là $\widehat{AHB}$. Tam giác $BCD$ vuông cân tại $B$ với $BC=BD=a\sqrt{2}$, nên $CD=2a$ và đường cao $BH=\frac{BC\cdot BD}{CD}=\frac{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}{2a}=a$. Trong tam giác vuông $ABH$ (vuông tại $B$): $\tan \widehat{AHB}=\frac{AB}{BH}=\frac{a/\sqrt{3}}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Suy ra $\widehat{AHB}=30^{\circ }$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ bằng $30^{\circ }$.