Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $BCD$ vuông cân tại $B$ và $AB\perp (BCD)$. Cho biết $BC=a\sqrt{2},AB=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $BCD$ vuông cân tại $B$ nên $BD=BC=a\sqrt{2}$, suy ra $CD=\sqrt{B{C}^2+B{D}^2}=2a$. Vì $AB\perp (BCD)$ nên $AB\perp CD$. Trong $(BCD)$, kẻ $BH\perp CD$ tại $H$ (do tam giác vuông cân nên $H$ là trung điểm $CD$, $BH=\frac{CD}{2}=a$). Khi đó $CD\perp BH$ và $CD\perp AB$ nên $CD\perp (AHB)$, suy ra $CD\perp AH$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ là $\widehat{AHB}$. Trong tam giác $ABH$ vuông tại $B$: $\tan \widehat{AHB}=\frac{AB}{BH}=\frac{a/\sqrt{3}}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, do đó $\widehat{AHB}=30^{\circ }$. Vậy góc giữa $(ACD)$ và $(BCD)$ bằng $30^{\circ }$.