Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a,AD=a\sqrt{3}$. $SA$ vuông góc với $(ABCD)$ và $SC$ tạo với đáy một góc $45^{\circ }$. Gọi $\alpha$ là số đo góc phẳng nhị diện $[S,BD,A]$. Khi đó $\cos \alpha$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SC$ và đáy là góc $SCA=45^{\circ }$, suy ra $SA=AC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=a,BC=AD=a\sqrt{3}$ nên $AC=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$, do đó $SA=2a$.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $BD$. Trong tam giác vuông $ABD$ (vuông tại $A$): $BD=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$ và $AH=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{a\cdot a\sqrt{3}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$, kết hợp $AH\perp BD$ suy ra $BD\perp (SAH)$, do đó góc nhị diện $[S,BD,A]$ là góc $SHA=\alpha$.

Tam giác $SAH$ vuông tại $A$: $SH=\sqrt{S{A}^2+A{H}^2}=\sqrt{4a^2+\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{19}}{2}$.

Vậy $\cos \alpha =\frac{AH}{SH}=\frac{a\sqrt{3}/2}{a\sqrt{19}/2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{\sqrt{57}}{19}$.