Cho hình chóp $S.ABC$ có $ABC,SAB$ là các tam giác đều và mặt bên $(SAB)$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $\alpha$ là số đo của góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$. Tính ${\cos }^2\alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh tam giác đều là $a$, $M$ là trung điểm $AB$. Vì $SAB$ đều nên $SM\perp AB$, $SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$; do $(SAB)\perp (ABC)$ nên $SM\perp (ABC)$. Góc nhị diện $[S,BC,A]$ có cạnh $BC$. Hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $M$, gọi $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $BC$. Trong mặt đáy, với tọa độ $B(0,0),C(a,0),A\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$ thì $M=\left(\frac{a}{4},\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$ nên $MK=\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Ta có $SK\perp BC$ (định lý ba đường vuông góc) và $AK\perp BC$, do đó $\widehat{SKA}=\alpha$. Vì $SM\perp (ABC)$ nên $\tan \alpha =\frac{SM}{MK}=\frac{a\sqrt{3}/2}{a\sqrt{3}/4}=2$. Suy ra ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1}{5}$. Vậy chọn đáp án B.