Cho tam giác $ABC$ biết trực tâm $H(1;1)$ và phương trình cạnh $AB:5x-2y+6=0$, phương trình cạnh $AC:4x+7y-21=0$. Một vecto pháp tuyến của cạnh $BC$ là $\overrightarrow{n_{BC}}=(a;-2)$. Khi đó giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Trực tâm $H(1;1)$. Vì $BH\perp AC$ nên đường thẳng $BH$ có vecto chỉ phương là pháp tuyến của $AC$: $(4;7)$, suy ra $BH:7x-4y-3=0$. Giao với $AB:5x-2y+6=0$ ta được $B\left(-5;-\frac{19}{2}\right)$. Vì $CH\perp AB$ nên $CH$ có vecto chỉ phương $(5;-2)$, suy ra $CH:2x+5y-7=0$. Giao với $AC:4x+7y-21=0$ ta được $C\left(\frac{28}{3};-\frac{7}{3}\right)$. Vecto $\overrightarrow{BC}=\left(\frac{43}{3};\frac{43}{6}\right)$ cùng phương với $(2;1)$, nên vecto pháp tuyến của $BC$ cùng phương với $(1;-2)$. Vậy $a=1$.