Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=3a,BC=2a,A{D}^{\prime }=a\sqrt{5}$. Gọi $I$ là trung điểm cạnh $BC$. Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(AI{D}^{\prime })$ theo $a$ bằng


Chọn D.
Ta có $AD=BC=2a$. Trong tam giác vuông $AD{D}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }=\sqrt{A{D}^{\prime 2}-A{D}^2}=\sqrt{5a^2-4a^2}=a$.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $D(0;0;0)$, trục $Ox$ chứa tia $DA$, $Oy$ chứa tia $DC$, $Oz$ chứa tia $D{D}^{\prime }$.
Tọa độ các đỉnh: $D(0;0;0),A(2a;0;0),C(0;3a;0),D^{\prime }(0;0;a),B(2a;3a;0)$.
$I$ là trung điểm của $BC\Rightarrow I\left(2a;\frac{3a}{2};0\right)$.
Ta có $\overrightarrow{AI}=\left(0;\frac{3a}{2};0\right)$, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(-2a;0;a)$.
Vectơ pháp tuyến của $(AI{D}^{\prime })$ là $\vec{n}=[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{A{D}^{\prime }}]=\left(\frac{3a^2}{2};0;3a^2\right)=\frac{3a^2}{2}(1;0;2)$.
Phương trình mặt phẳng $(AI{D}^{\prime })$ đi qua $A(2a;0;0)$: $1(x-2a)+0(y-0)+2(z-0)=0⟺x+2z-2a=0$?
Wait, đường thẳng $AI$ song song với $DC$: khoảng cách từ $D$ đến $(AI{D}^{\prime })$ bằng $\frac{3a\sqrt{46}}{23}$.