Cho biết phương trình ${\log }_{9}x+\sqrt{{\log }_{9}x+4}=26$ có nghiệm dạng $x=3^n$, với $n$ là số tự nhiên. Tổng tất cả các chữ số của $n$ bằng

Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình ${\log }_2(2x-2)+{\log }_2(x-3{)}^2=2$ trên $\mathbb{R}$. Tổng các phần tử của $S$ bằng $a+b\sqrt{2}$ (với $a,b$ là các số nguyên). Giá trị của biểu thức $Q=a\cdot b$ bằng

Gọi $n$ là số nguyên dương sao cho
$$\frac{1}{{\log }_{2020}x}+\frac{1}{{\log }_{2020^2}x}+\frac{1}{{\log }_{2020^3}x}+\cdots +\frac{1}{{\log }_{2020^n}x}=\frac{210}{{\log }_{2020}x}$$
đúng với mọi $x$ dương, $x\ne 1$. Tìm giá trị của biểu thức $P=3n+4$.

Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $0<y\le 2020$ và ${\log }_3\left(\frac{2^x-1}{y}\right)=y+1-2^x$?

Giải phương trình ${\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2=0$. Ta có tổng các nghiệm là

Tích tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_{\pi }^{2}x+4{\log }_{\pi }x-5=0$ bằng

Nghiệm của phương trình ${\log }_2(2x)=3$ là