Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A,B$ nằm trên mặt cầu có phương trình $(x-4{)}^2+(y+2{)}^2+(z+2{)}^2=9$. Biết rằng $AB$ song song với $OI$, trong đó $O$ là gốc tọa độ và $I$ là tâm mặt cầu. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Chọn C.
Mặt cầu có tâm $I(4;-2;-2)$ và bán kính $R=3$.
Vì $A,B$ thuộc mặt cầu nên tam giác $IAB$ cân tại $I$, do đó mặt phẳng trung trực của $AB$ luôn đi qua tâm $I(4;-2;-2)$.
Mặt khác, mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ vuông góc với đoạn thẳng $AB$.
Vì $AB\parallel OI$ nên vectơ $\overrightarrow{OI}=(4;-2;-2)=2(2;-1;-1)$ chính là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực đó.
Mặt phẳng đi qua $I(4;-2;-2)$ và nhận $\vec{n}=(2;-1;-1)$ làm VTPT có phương trình:
$$2(x-4)-1(y+2)-1(z+2)=0⟺2x-y-z-8-2-2=0⟺2x-y-z-12=0.$$