Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành và có thể tích là $V$. Điểm $P$ là trung điểm của $SC$, một mặt phẳng qua $AP$ cắt hai cạnh $SD$ và $SB$ lần lượt tại $M$ và $N$. Gọi $V_1$ là thể tích của khối chóp $S.AMPN$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số $\frac{V_1}{V}$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh $a$. Gọi $K$ là điểm trên cạnh $C{C}^{\prime }$ sao cho $CK=\frac{2}{3}a$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua hai điểm $A,K$ và song song với $BD$, mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $B{B}^{\prime },D{D}^{\prime }$ lần lượt tại $M$ và $N$. Thể tích của khối đa diện $BCDNMK$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là điểm di động trên cạnh $AB$ và $N$ là trung điểm $SD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M,N$ và song song $BC$ chia khối chóp thành hai khối có tỉ lệ thể tích $\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{5}$, trong đó $V_1$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $A$, $V_2$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $B$. Tỉ số $\frac{AM}{AB}$ bằng

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và có thể tích $V=12$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$; $P$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $PS=2PC$. Mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $SD$ tại $Q$. Thể tích khối chóp $S.MNPQ$ bằng:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA=9a$ và $SA\perp (ABC)$. Gọi $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC$; $P,Q$ lần lượt là hai điểm thuộc cạnh $SB$ và $SC$ thỏa $\frac{SP}{SB}=\frac{SQ}{SC}=\frac{1}{3}$. Thể tích khối tứ diện $AOPQ$ bằng

Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng 1. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }$. Mặt phẳng $(CMN)$ cắt các đường thẳng $C^{\prime }{A}^{\prime },C^{\prime }{B}^{\prime }$ lần lượt tại $P,Q$. Thể tích của khối đa diện lồi $ABCPQ{C}^{\prime }$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SB$ và $N$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $NS=2NC$. Thể tích $V$ của khối chóp $A.BMNC$ là