Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đường elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$.

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần tô đậm trong hình vẽ bên) quanh trục $AB$. Miền $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,AD,BC$, một nửa đường chéo $AC$ của hình vuông $ABCD$ và cung phần tư của đường tròn bán kính bằng $2\text{ cm}$ với tâm là trung điểm của cạnh $AD$. Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x{e}^x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$ xung quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?

Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=x^2-2x$, $y=4-x^2$ khi nó quay quanh trục hoành là

Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi hai đồ thị $y=x^2+x$ và $y=2x$. Quay hình $(H)$ quanh trục hoành, tính thể tích vật thể thu được.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai liên tục trên $\mathbb{R}$, biết rằng $f(0)=0$ và hàm số $g(x)=\frac{1}{16}[x{f}^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)]$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ.


Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=f(x),y=\frac{f^{\prime \prime }(x)-40}{12}$ khi quay quanh trục $Ox$ có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng 4 dm, trong đó $(H)$ là phần được tô màu đậm có đường biên cong là một phần của parabol $(P)$. Biết rằng khoảng cách từ đỉnh của $(P)$ đến hai đường thẳng $AB,BC$ lần lượt là 2 dm và 1 dm, đồng thời $(P)$ đi qua hai đỉnh $A$ và $D$ của hình vuông (xem hình minh họa).

Người ta cần sản xuất một sản phẩm là vật thể tròn xoay sinh ra khi quay $(H)$ quanh đường thẳng $BC$. Hỏi thể tích vật thể đó là bao nhiêu đề-xi-mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?