Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x{e}^x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$ xung quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào dưới đây?

Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=x^2-2x$, $y=4-x^2$ khi nó quay quanh trục hoành là

Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi hai đồ thị $y=x^2+x$ và $y=2x$. Quay hình $(H)$ quanh trục hoành, tính thể tích vật thể thu được.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai liên tục trên $\mathbb{R}$, biết rằng $f(0)=0$ và hàm số $g(x)=\frac{1}{16}[x{f}^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)]$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ.


Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=f(x),y=\frac{f^{\prime \prime }(x)-40}{12}$ khi quay quanh trục $Ox$ có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng 4 dm, trong đó $(H)$ là phần được tô màu đậm có đường biên cong là một phần của parabol $(P)$. Biết rằng khoảng cách từ đỉnh của $(P)$ đến hai đường thẳng $AB,BC$ lần lượt là 2 dm và 1 dm, đồng thời $(P)$ đi qua hai đỉnh $A$ và $D$ của hình vuông (xem hình minh họa).

Người ta cần sản xuất một sản phẩm là vật thể tròn xoay sinh ra khi quay $(H)$ quanh đường thẳng $BC$. Hỏi thể tích vật thể đó là bao nhiêu đề-xi-mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{3}}{9}{x}^3$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{4-x^2}$ (với $0\le x\le 2$) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).



Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V=\left(-\frac{a}{b}\sqrt{3}+\frac{c}{d}\right)\pi$, trong đó $a,b,c,d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{a}{b},\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P=a+b+c+d$.

Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2(x-1)e^x$, trục tung và trục hoành. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $(H)$ xung quanh trục $Ox$.