Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$ (hình vẽ)

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ kiểm tra: A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), S(0,0,1) ⇒ M(0,0,1/2), N(1,1/2,0), O(1/2,1/2,0).
a) Đúng. Mặt phẳng (MNO) có phương trình y+z=1/2, mặt phẳng (SAB) có phương trình y=0. Giao tuyến: y=0, z=1/2, tức đường thẳng qua M(0,0,1/2) có phương hướng (1,0,0) song song với AB. (Cũng có thể lập luận: MO là đường trung bình của tam giác SAC nên MO∥SC; đường thẳng qua M song song với AB cắt SB tại trung điểm P của SB và P nằm trong (MNO).)
b) Sai. MN và BD chéo nhau (không đồng phẳng, không cắt nhau): phương trình MN là (t, t/2, 1/2−t/2), BD là (s, 1−s, 0); hệ không có nghiệm. Do đó K=MN∩BD không tồn tại; giao tuyến của (SMN) và (SBD) là đường thẳng qua S và I với I=MN∩(SBD), không phải SK với K trên BD.
c) Đúng. M nằm trên SA nên M∈(SAN); N được lấy làm điểm xác định mặt phẳng (SAN) nên N∈(SAN). Suy ra MN⊂(SAN).
d) Đúng. Mặt phẳng (SBD) qua S(0,0,1), B(1,0,0), D(0,1,0) có phương trình x+y+z=1. Thay điểm trên MN: t+t/2+1/2−t/2=t+1/2=1 ⇒ t=1/2, tức I=(1/2,1/4,1/4) là trung điểm của MN (t=1/2 giữa M ứng t=0 và N ứng t=1). Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
MO là đường trung bình tam giác SAC nên MO∥SC; mặt phẳng (MNO) cắt (SAB) theo đường thẳng qua M. Với tọa độ A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), S(0,0,1): (MNO): y+z=1/2, (SAB): y=0, giao tuyến là y=0, z=1/2, đi qua M(0,0,1/2) và song song AB.
b) (AI giải đề cho tôi)
MN và BD chéo nhau nên K=MN∩BD không tồn tại. Giao tuyến của (SMN) và (SBD) là đường thẳng qua S và I=MN∩(SBD), không phải SK với K trên BD.
c) (AI giải đề cho tôi)
M∈SA⊂(SAN) và N∈(SAN) nên MN⊂(SAN).
d) (AI giải đề cho tôi)
(SBD): x+y+z=1. Điểm trên MN: (t, t/2, 1/2−t/2) ⇒ t+1/2=1 ⇒ t=1/2, nên I là trung điểm của MN.