Cho tam giác đều $ABC$. Trên cạnh $AB$, lấy 59 điểm phân biệt (không trùng $A$, $B$) chia $AB$ ra làm 60 đoạn bằng nhau, đánh dấu 59 điểm vừa chọn. Trên cạnh $AC$, lấy 44 điểm phân biệt (không trùng một trong hai điểm $A$, $C$) chia $AC$ chia ra làm 45 đoạn bằng nhau. Trên cạnh $BC$, lấy 39 điểm phân biệt (không trùng một trong hai điểm $B$, $C$) chia $BC$ ra làm 40 đoạn bằng nhau. Chọn ngẫu nhiên 2 điểm phân biệt trong các điểm mới đã lấy trên hai cạnh $AC$, $BC$ (trên cùng một cạnh hoặc trên hai cạnh khác nhau). Gọi $H$, $K$ là hình chiếu vuông góc của hai điểm đó lên đường thẳng $AB$. Gọi $p$ là xác suất để đoạn $HK$ có hai đầu mút đều là các điểm đã được đánh dấu trên $AB$, tính giá trị $3403p$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt AB=1, hệ trục trên đường thẳng AB với A tại 0, B tại 1. Vì tam giác đều, góc giữa AC và AB bằng 60° nên hình chiếu của điểm trên AC cách A một đoạn s là s·cos60° = s/2. Tương tự, điểm trên BC cách B đoạn s có hình chiếu tại 1 − s/2.

- Điểm thứ k trên AC (k=1..44) có hình chiếu tại k/90. Đây là điểm đánh dấu i/60 khi 2k/3 nguyên, tức k chia hết cho 3: k ∈ {3,6,...,42} → 14 điểm.
- Điểm thứ j trên BC (j=1..39) có hình chiếu tại 1 − j/80. Đây là điểm đánh dấu khi 60 − 3j/4 nguyên, tức j chia hết cho 4: j ∈ {4,8,...,36} → 9 điểm.
- Hai tập hình chiếu này không giao nhau (k/90 = 1 − j/80 đòi hỏi k > 44).

Tổng số cách chọn 2 điểm phân biệt từ 83 điểm trên AC, BC là C(83,2) = 3403.
Số cách thuận lợi: cả hai từ AC: C(14,2)=91; cả hai từ BC: C(9,2)=36; mỗi cạnh một điểm: 14·9=126. Tổng = 91+36+126 = 253.

Vậy p = 253/3403, suy ra 3403p = 253, khớp với đáp án nguồn.