Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với đáy lớn là $AD$ và $AD=k.BC$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$, $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,CD$ sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{DN}{DC}=\frac{2}{3}$. Mặt phẳng $(GMN)$ cắt $SA,SD$ lần lượt tại $Q$ và $P$. Biết tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành. Tính giá trị của $k$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, vì $AD\parallel BC$ và $AD=kBC$ nên $\overrightarrow{AD}=k(\vec{c}-\vec{b})$, tức $\vec{D}=k(\vec{c}-\vec{b})$ (đặt $A$ làm gốc, $\vec{S}=\vec{s}$).

Ta có:
- $\vec{M}=\frac{2}{3}\vec{b}$;
- $\vec{N}=\frac{1}{3}\vec{D}+\frac{2}{3}\vec{c}=\frac{k}{3}(\vec{c}-\vec{b})+\frac{2}{3}\vec{c}$;
- $\vec{G}=\frac{\vec{S}+\vec{D}}{3}=\frac{\vec{s}}{3}+\frac{k}{3}(\vec{c}-\vec{b})$.

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\vec{N}-\vec{M}=\frac{k+2}{3}(\vec{c}-\vec{b})$, tức $MN\parallel BC\parallel AD$.

**Tìm $Q=(GMN)\cap SA$:** $\vec{Q}=\alpha \vec{s}$. Vì $Q\in (GMN)$ nên $\vec{Q}-\vec{M}=a(\vec{c}-\vec{b})+b(\vec{G}-\vec{M})$ với $\vec{G}-\vec{M}=\frac{\vec{s}}{3}+\frac{k}{3}\vec{c}-\frac{k+2}{3}\vec{b}$. So sánh hệ số theo $\vec{s},\vec{c},\vec{b}$: hệ số $\vec{s}$ cho $b=3\alpha$; hệ số $\vec{c}$ cho $a=-\alpha k$; hệ số $\vec{b}$ cho $-a-\alpha (k+2)=-\frac{2}{3}\Rightarrow \alpha k+\alpha (k+2)=\frac{2}{3}\Rightarrow 2\alpha =\frac{2}{3}\Rightarrow \alpha =\frac{1}{3}$. Vậy $\vec{Q}=\frac{\vec{s}}{3}$.

**Tìm $P=(GMN)\cap SD$:** $\vec{P}=(1-\mu )\vec{s}+\mu k(\vec{c}-\vec{b})$. Lập luận tương tự với $\vec{P}-\vec{M}=a(\vec{c}-\vec{b})+b(\vec{G}-\vec{M})$: từ hệ số $\vec{s}$: $b=3(1-\mu )$; hệ số $\vec{c}$: $a=(2\mu -1)k$; hệ số $\vec{b}$: $(2\mu -1)k+(1-\mu )(k+2)=\mu k+\frac{2}{3}\Rightarrow 2-2\mu =\frac{2}{3}\Rightarrow \mu =\frac{2}{3}$. Vậy $\vec{P}=\frac{\vec{s}}{3}+\frac{2}{3}\vec{D}$.

**Điều kiện hình bình hành $MNPQ$:** hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, tức $\vec{M}+\vec{P}=\vec{N}+\vec{Q}$.
- Hệ số $\vec{s}$: $\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$ (thỏa luôn).
- Hệ số $\vec{b}$: $\frac{2}{3}-\frac{2k}{3}=-\frac{k}{3}\Rightarrow 2-2k=-k\Rightarrow k=2$.
- Hệ số $\vec{c}$: $\frac{2k}{3}=\frac{k}{3}+\frac{2}{3}\Rightarrow k=2$ (nhất quán).

Kiểm tra với $k=2$: $\overrightarrow{QP}=\vec{P}-\vec{Q}=\frac{2}{3}\vec{D}=\frac{4}{3}(\vec{c}-\vec{b})=\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MQ}=\vec{Q}-\vec{M}=\frac{\vec{s}}{3}-\frac{2}{3}\vec{b}=\overrightarrow{NP}$. Vậy $MNPQ$ thực sự là hình bình hành.

Kết luận: $k=2$, trùng với đáp án của đề (mã đề 1001, câu 22: 2).