Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm O, cạnh bằng $a$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, và khoảng cách từ $A$ đến cạnh $SB$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

a) Chứng minh rằng $CD\perp (SAD)$.

b) Tính khoảng cách từ trọng tâm $G$ của tam giác $SAB$ đến mặt phẳng $(SAC)$.

a) Theo giả thiết có $CD\perp AD$ (Do ABCD là hình vuông) (1)
Lại có $SA\perp (ABCD),CD\subset (ABCD)\Rightarrow SA\perp CD$ (2)
AD, SA cắt nhau tại A, cùng thuộc (SAD) (3)
Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow CD\perp (SAD)$ (0,5 điểm).



b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB $\Rightarrow d(A,SB)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Từ công thức $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}$. Tính được $SA=a\sqrt{3}$ (0,25 điểm).

Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và $d\left(B,(SAC)\right)=BO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ta có : $\frac{d\left(G,(SAC)\right)}{d\left(B,(SAC)\right)}=\frac{1}{3}\iff d\left(G,(SAC)\right)=\frac{1}{3}d\left(B,(SAC)\right)=\frac{BO}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{6}$

$\Rightarrow d\left(G,(SAC)\right)=\frac{a\sqrt{2}}{6}$ (0,25 điểm).