Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+x^2-3x+1$ có đồ thị là $(C)$.

a) Tính $y^{\prime }$.

b) Giải phương trình $y^{\prime }=0$.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: $y=-3x+1$.

a) Tính $y^{\prime }=x^2+2x-3$ (0,5 điểm).

b) Giải pt $y^{\prime }=0\iff x^2+2x-3=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}$ (0,25 điểm).

c) Do TT song song với d: $y=-3x+1\Rightarrow$ k = -3.

Hệ số góc của TT: k = -3 $\iff y^{\prime }=-3\iff x^2+2x-3=-3\iff x^2+2x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$ (0,25 điểm).

TH1: $x_0=0\Rightarrow y_0=y(0)=1$; (k = -3)

$\Rightarrow$ PTTT : $y-1=-3(x-0)$
$\iff y=-3x+1$ (loại) (0,25 điểm).

TH2: $x_0=-2\Rightarrow y_0=y(-2)=\frac{25}{3}$; (k = -3)

$\Rightarrow$ PTTT : $y-\frac{25}{3}=-3(x+2)$
$\iff y=-3x+\frac{7}{3}$

KL: Có 1 TT song song với d là $y=-3x+\frac{7}{3}$ (0,25 điểm).