Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 10. $N$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $3SN=2SB$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $N$, song song với $AB$ và $AD$, cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi $S$ là diện tích tứ giác thiết diện và $S=\frac{4a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a;b\in \mathbb{N}$. Tính $P=a+b+1$

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 3. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$. Gọi $K$ là một điểm trên cạnh $BD$ với $KB=2KD$. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $\left(IJK\right)$. Tính diện tích thiết diện *(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 3. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$. Gọi $K$ là một điểm trên cạnh $BD$ với $KB=2KD$. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $(IJK)$. Tính diện tích thiết diện *(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $\widehat{SAD}=90^{\circ }$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trọng tâm $\Delta SAB$; $\Delta SCD$, $I$ là giao điểm của các đường thẳng $BM$; $CN$.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$?

b) Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(AIC)$ và các mặt của hình chóp?

Anh Long có kệ sách cũ hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và anh muốn cải tạo thành kệ sách như hình vẽ minh họa. Anh tiến hành làm như sau: nối dài $A{A}^{\prime }$ một đoạn $A^{\prime }H$, $A^{\prime }H=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }$, từ $H$ anh dựng mặt phẳng $(\alpha )$ song song với mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ cắt các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ lần lượt tại các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ và từ đó cắt đi phần thừa. Diện tích của tứ giác $MNPQ$ bằng bao nhiêu $m^2$, biết $△A^{\prime }BC$ là tam giác đều có cạnh bằng $1m$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Anh Trọng có kệ sách cũ hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và anh muốn cải tạo thành kệ sách như hình vẽ minh họa. Anh tiến hành làm như sau: nối dài $A{A}^{\prime }$ một đoạn $A^{\prime }H$, $A^{\prime }H=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }$, từ $H$ anh dựng mặt phẳng $(\alpha )$ song song với mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ cắt các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ lần lượt tại các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ và từ đó cắt đi phần thừa. Diện tích của tứ giác $MNPQ$ bằng bao nhiêu $d{m}^2$, biết $△A^{\prime }BC$ là tam giác đều có cạnh bằng $7dm$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho hình tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 6. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CA,CB$. $P$ là điểm trên cạnh $BD$ sao cho $BP=2PD$. Gọi $(H)$ là hình giới hạn bởi giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt của tứ diện $ABCD$. Tính diện tích hình $(H)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).