Anh Trọng có kệ sách cũ hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và anh muốn cải tạo thành kệ sách như hình vẽ minh họa. Anh tiến hành làm như sau: nối dài $A{A}^{\prime }$ một đoạn $A^{\prime }H$, $A^{\prime }H=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }$, từ $H$ anh dựng mặt phẳng $(\alpha )$ song song với mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ cắt các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ lần lượt tại các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ và từ đó cắt đi phần thừa. Diện tích của tứ giác $MNPQ$ bằng bao nhiêu $d{m}^2$, biết $△A^{\prime }BC$ là tam giác đều có cạnh bằng $7dm$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Lời giải (do AI solution agent cung cấp, không có trong nguồn; đáp án 15.9 khớp với bảng đáp án chính thức mã đề 1102, Phần III, Câu 4 ở trang 9): Vì $(\alpha )\parallel (A^{\prime }BC)$ và $A^{\prime }H=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }$, theo định lý Thales trong không gian, mặt phẳng $(\alpha )$ cắt các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ tại các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ là trung điểm của các cạnh này.
- $MQ$ là giao tuyến của $(\alpha )$ với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $MQ\parallel BC$ và $MQ=\frac{1}{2}BC=3,5dm$.
- $NP$ nối trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ nên $NP\parallel BC$ và $NP=BC=7dm$.
Vậy $MNPQ$ là hình thang có hai đáy $MQ=3,5dm$ và $NP=7dm$.
Đường cao của hình thang bằng khoảng cách từ $M$ đến $NP$: vì $MN=\frac{1}{2}{A}^{\prime }B=3,5dm$ và góc giữa $A^{\prime }B$ với $BC$ bằng $60^{\circ }$ (tam giác đều $A^{\prime }BC$), nên $h=MN\cdot \sin 60^{\circ }=3,5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{4}dm$.
Diện tích tứ giác $MNPQ$ là:
$$S=\frac{1}{2}(MQ+NP)\cdot h=\frac{1}{2}(3,5+7)\cdot \frac{7\sqrt{3}}{4}=\frac{73,5\sqrt{3}}{8}\approx 15,91d{m}^2.$$
Kết quả làm tròn đến hàng phần chục: $S\approx 15,9d{m}^2$.