Một khối gỗ được nghệ nhân chạm thành hình một khối chóp tứ giác $S.ABCD$ có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng $50cm$. Nghệ nhân đó tiếp tục dùng cưa cắt khối gỗ thành 2 phần theo mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua trung điểm của $DC$ và song song với mặt phẳng $(SAD)$. Diện tích mặt cắt của khối gỗ bằng bao nhiêu xăng ti mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $DC$. Thiết lập hệ tọa độ: $A(0;0;0),B(50;0;0),C(50;50;0),D(0;50;0)$, đỉnh $S(25;25;h)$ với $h=\sqrt{50^2-25^2-25^2}=25\sqrt{2}$.
Mặt phẳng $(SAD)$ có phương trình $z=\sqrt{2}x$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M(25;50;0)$ và song song với $(SAD)$ nên có phương trình $z=\sqrt{2}(x-25)$.
Khảo sát các đỉnh: $S,A,D$ nằm cùng phía của $(\alpha )$, còn $B,C$ nằm phía kia. Do đó mặt cắt là tứ giác với các đỉnh là giao điểm của $(\alpha )$ với các cạnh $AB,SB,SC,DC$:
- Giao với $AB$: $P(25;0;0)$.
- Giao với $DC$: chính là $M(25;50;0)$.
- Giao với $SB$ (trung điểm vì $S$ và $B$ cách đều mặt phẳng): $Q(37,5;12,5;\frac{25\sqrt{2}}{2})$.
- Giao với $SC$: $K(37,5;37,5;\frac{25\sqrt{2}}{2})$.
Tứ giác $PMKQ$ là hình thang cân với hai đáy song song $PM\parallel QK$ (cùng phương $Oy$), độ dài $PM=50$, $QK=25$.
Khoảng cách giữa hai đáy: $d=\sqrt{(37,5-25{)}^2+{\left(\frac{25\sqrt{2}}{2}-0\right)}^2}=\sqrt{156,25+312,5}=\sqrt{468,75}=12,5\sqrt{3}$.
Diện tích mặt cắt $=\frac{(50+25)\cdot 12,5\sqrt{3}}{2}=468,75\sqrt{3}\approx 811,87\approx 812c{m}^2$.