Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các điểm $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$ và $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: A(0,0,0), B(9,0,0), D(0,9,0), C(9,9,0), A'(0,0,9), B'(9,0,9), C'(9,9,9), D'(0,9,9). Khi đó M(0;4,5;9), N(9;4,5;9), P(9;4,5;0).
a) M, N đều thuộc mặt phẳng (A'B'C'D') (mặt z=9) và thuộc (MNP), nên giao tuyến là MN. Đúng.
b) (ABB'A') là mặt y=0 nên (α) qua MP song song với nó là mặt y=4,5. E=AD∩(α)=(0;4,5;0), F=B'C'∩(α)=(9;4,5;9). ME=EP=PF=FM=9 nên chu vi MEPF = 36cm ≠ 18cm. Sai.
c) (MNP) là mặt y=4,5 (pháp tuyến (0;1;0)). Mặt (BA'C'): BA'=(-9;0;9), BC'=(0;9;9), pháp tuyến (1;-1;1), phương trình x−y+z=9. Hai pháp tuyến không song song nên hai mặt phẳng không song song. Sai.
d) Mặt (B'PD'): B'P=(0;4,5;-9), B'D'=(-9;9;0), pháp tuyến (2;2;1), phương trình 2x+2y+z=27. Đường BM: (9−9t; 4,5t; 9t), thay vào: 2(9−9t)+9t+9t=18≠27, nên BM không cắt mặt phẳng và BM không nằm trong mặt phẳng (vì B cho 18≠27). Vậy BM song song với (B'PD'). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
M, N cùng thuộc (A'B'C'D') và (MNP) nên giao tuyến là MN.
b) (AI giải đề cho tôi)
(α) là mặt y=4,5; E(0;4,5;0), F(9;4,5;9), cả bốn cạnh ME, EP, PF, FM đều bằng 9cm nên chu vi bằng 36cm, không phải 18cm.
c) (AI giải đề cho tôi)
(MNP) có pháp tuyến (0;1;0), (BA'C') có pháp tuyến (1;-1;1), không vuông góc cùng một vectơ nên hai mặt phẳng không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
(B'PD'): 2x+2y+z=27; đường BM có 2x+2y+z=18 hằng số nên BM không cắt mặt phẳng và không nằm trong nó, tức BM song song với (B'PD').