Tổng $S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^n}+...$ bằng bao nhiêu?

Câu 1. Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots$ và $T=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\dots +\frac{1}{5^n}+\dots$

Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ và $B=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\dots +\frac{1}{4^n}+\dots$
Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:
Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$).
Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^2}$ ).

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ $n$ , bỏ đi $3^{n-1}$ tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^n}$ ). Tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi bằng bao nhiêu?

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 22,5 mét. Giả sử sau mỗi lần chạm đất quả bóng cao su lại nảy lên độ cao bằng 80\% độ cao của lần rơi trước. Tính chiều dài quãng đường quả bóng cao su di chuyển từ khi được thả đến khi không nảy nữa.

Câu 3. (4,0 điểm).
a. Tìm số hạng thứ 10 và xét tính tăng, giảm của dãy số $u_n=\frac{1}{n^2+n}$.
b. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81 mét. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.

Tổng $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ bằng