Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, điểm $M$ nằm trên cạnh $AC$ sao cho $AM=kMC$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ song song với hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }C$. Gọi $N$ là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $BC$. Tìm $k$ để $\frac{NB}{NC}=\frac{5}{3}$.

Giao tuyến của $(P)$ và $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ là đường thẳng đi qua $M$ song song với $A^{\prime }C$ cắt $A{A}^{\prime }$ tại $R$. Cắt $A{C}^{\prime }$ tại $E$.

Giao tuyến của $(P)$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là đường thẳng đi qua $R$ song song với $A{B}^{\prime }$ cắt $A^{\prime }{B}^{\prime }$ tại $Q$.

Giao tuyến của $(P)$ và $(AC{B}^{\prime })$ là đường thẳng đi qua $M$ song song với $A{B}^{\prime }$ cắt $C{B}^{\prime }$ tại $F$.

Giao tuyến của $(P)$ và $(A{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là đường thẳng đi qua $E$ song song với $A{B}^{\prime }$ cắt $C^{\prime }{B}^{\prime }$ tại $P$.

Nối $P$ với $F$ cắt $BC$ tại $N$.

Nối $N$ với $M$. Theo bài ta có $\frac{AM}{MC}=k$.

Gọi $I=A{C}^{\prime }\cap A^{\prime }C$.

Do $MR//A^{\prime }C$ nên ta có
$$\frac{AE}{EI}=k\iff \frac{EI}{AE}=\frac{1}{k}\iff \frac{AI-AE}{AE}=\frac{1}{k}\iff \frac{AI}{AE}=\frac{k+1}{k}$$
$$\iff \frac{AE}{AI}=\frac{k}{k+1}\iff \frac{2AE}{A{C}^{\prime }}=\frac{k}{k+1}\iff \frac{AE}{A{C}^{\prime }}=\frac{k}{2(k+1)}$$

Vì $EP//A{B}^{\prime }$ nên ta có $\frac{B^{\prime }P}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AE}{A{C}^{\prime }}=\frac{k}{2(k+1)}\Rightarrow B^{\prime }P=\frac{k}{2(k+1)}.B^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{k}{2(k+1)}.BC$.

Lại có $MF//A{B}^{\prime }$ nên $\frac{AM}{MC}=\frac{B^{\prime }F}{FC}=\frac{B^{\prime }P}{NC}=k$.

(Lời giải còn tiếp sang trang sau của tài liệu hướng dẫn chấm — trang 8/10, không có trong các trang đã cung cấp; theo ghi chú ngữ cảnh, phần kết luận cho $k$ nằm ở trang đó.)