Cho tứ diện $ABCD$, biết tam giác $BCD$ có diện tích bằng 32, điểm $M$ trên cạnh $AB$ thỏa mãn: $MB=3MA$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ và song song với mặt phẳng $(BCD)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $MN$ cắt $AC,BD$ tại $P,Q$. Biết $\frac{AP}{PC}=2$, tính $\frac{BQ}{QD}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AB=3CD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $O$, song song với mặt phẳng $(SCD)$ và cắt các cạnh $AD,BC,SA,SB$ lần lượt tại các điểm $M,N,Q,P$. Biết rằng tam giác $SCD$ là tam giác vuông tại $D$ và, $CD=4$, $SD=8$. Diện tích của tứ giác $MNPQ$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, đáy lớn $BC$, $BC=4$, $AD=AB=2$, tam giác $SAD$ đều. Gọi $I$ là một điểm trên đoạn $BD$ ($I$ không trùng với $B$ và $D$). Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $AD$ cắt cạnh $AB$ tại $M$, qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $SA$ cắt cạnh $SB$ tại $Q$, $(IMQ)$ cắt các cạnh $CD,SC$ lần lượt tại $N$ và $P$. Biết $AM=1$. Tính diện tích của tứ giác $MNPQ$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AD//BC$, $AD=2BC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SB$ và $SD$.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{BAD}=60^{\circ }$, $AB=4$, $AD=3$; $O$ là tâm của hình hộp; $A_1$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$; $I$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AO$ thỏa mãn $IO=2IA$. Mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi chứa đường thẳng $I{A}_1$ đồng thời cắt các cạnh $AB$, $AD$ lần lượt tại $B_1$, $D_1$ $(B_1\ne A$, $D_1\ne A)$. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $A{B}_1{D}_1$.

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$, điểm $M$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $SM=2MC$.
a) Tìm giao điểm $I$ của $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$ và tính $\frac{AI}{AM}$.
b) Mặt phẳng $(P)$ chứa $AM$ và song song với $BD$. Xác định thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$.
c) Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$.