Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$, điểm $M$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $SM=2MC$.
a) Tìm giao điểm $I$ của $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$ và tính $\frac{AI}{AM}$.
b) Mặt phẳng $(P)$ chứa $AM$ và song song với $BD$. Xác định thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$.
c) Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, tâm đáy $O\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$. Vì $SA=a$ nên chiều cao $SO=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$, suy ra $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$. Với $SM=2MC$ ta có $M=\frac{S+2C}{3}=\left(\frac{5a}{6};\frac{5a}{6};\frac{a}{3\sqrt{2}}\right)$.

a) $BD\perp AC$ và $BD\perp SO$ nên $BD\perp (SAC)$; do đó $(SBD)\cap (SAC)=SO$. Đường thẳng $AM\subset (SAC)$ nên $I=AM\cap SO$. Phương trình $AM$: điểm $tM$ ($t\in \mathbb{R}$); phương trình $SO$: $\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}(1-u)\right)$. So sánh hoành độ: $\frac{5a}{6}t=\frac{a}{2}\Rightarrow t=\frac{3}{5}$; kiểm tra tung độ và cao độ: $\frac{a}{3\sqrt{2}}\cdot \frac{3}{5}=\frac{a}{5\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}(1-u)\Rightarrow u=\frac{4}{5}$ (thỏa mãn). Vậy $I$ nằm trên $AM$ với $\frac{AI}{AM}=\frac{3}{5}$ (và $\frac{SI}{SO}=\frac{4}{5}$).

b) Mặt phẳng $(P)$ qua $AM$ và song song $BD$. Vì $I\in AM\cap (SBD)$ nên $(P)\cap (SBD)$ là đường thẳng $d$ qua $I$ và song song $BD$; $d$ cắt $SB$ tại $N$ và $SD$ tại $K$. Tham số hóa: điểm trên $d$: $\left(\frac{a}{2}-sa;\frac{a}{2}+sa;\frac{a}{5\sqrt{2}}\right)$; điểm trên $SB$: $\left(\frac{a}{2}+\frac{va}{2};\frac{a}{2}-\frac{va}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}(1-v)\right)$. Từ cao độ: $v=\frac{4}{5}$; từ hoành độ: $s=-\frac{2}{5}$ (khớp tung độ $\frac{a}{10}$). Vậy $\frac{SN}{SB}=\frac{SK}{SD}=\frac{4}{5}$. Mặt khác $(P)$ chứa $A$ và song song $BD$ nên $(P)\cap (ABCD)$ là đường thẳng qua $A$ song song $BD$, đường này không cắt thêm điểm nào của hình vuông ngoài $A$. Do đó thiết diện là tứ giác $ANMK$ với $N\in SB$, $M\in SC$, $K\in SD$, $\frac{SN}{SB}=\frac{SK}{SD}=\frac{4}{5}$.

c) Tọa độ: $N=\left(\frac{9a}{10};\frac{a}{10};\frac{a}{5\sqrt{2}}\right)$, $K=\left(\frac{a}{10};\frac{9a}{10};\frac{a}{5\sqrt{2}}\right)$, $M=\left(\frac{5a}{6};\frac{5a}{6};\frac{a}{3\sqrt{2}}\right)$. Diện tích tứ giác $ANMK$ bằng $\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{NK}\right|$ (tổng diện tích hai tam giác $ANM$ và $AKM$, dùng tính đối xứng qua mặt phẳng $(SAC)$). Với $\overrightarrow{AM}=a\left(\frac{5}{6};\frac{5}{6};\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)$, $\overrightarrow{NK}=a\left(-\frac{4}{5};\frac{4}{5};0\right)$: $\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{NK}=a^2\left(-\frac{4}{15\sqrt{2}};-\frac{4}{15\sqrt{2}};\frac{4}{3}\right)$, độ dài $=a^2\sqrt{\frac{32}{450}+\frac{16}{9}}=a^2\sqrt{\frac{832}{450}}=\frac{4\sqrt{26}}{15}{a}^2$. Kiểm tra bằng cách tính riêng diện tích tam giác $ANM=\frac{\sqrt{26}}{15}{a}^2$ và $AKM=\frac{\sqrt{26}}{15}{a}^2$ (do đối xứng) — cùng kết quả. Vậy $S_{ANMK}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4\sqrt{26}}{15}{a}^2=\frac{2\sqrt{26}}{15}{a}^2$.