Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3x+1}}{x-1}& \text{khi }x\ne 1\\ a& \text{khi }x=1\end{array}$. Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x_0=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=a$.

Tính giới hạn (với $x\to 1$, $x\ne 1$):
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3x+1}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+3)-(3x+1)}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2-2x}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}\right)}$$
$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}}=\frac{-2}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}.$$

Vậy để hàm số liên tục tại $x_0=1$ thì $a=-\frac{1}{2}$.