Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ với độ dài cạnh đáy bằng $a$. Cạnh bên $SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
a) Chứng minh rằng $BD\perp (SAC)$.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng $SO$ và $AC$.
c) Gọi $I$ là trung điểm $AD$. Chứng minh $OI\perp SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S\left(0;0;\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$, $O\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$, $I\left(0;\frac{a}{2};0\right)$.

a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ mà $BD\subset (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Đường thẳng $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAC)$, do đó $BD\perp (SAC)$.

b) Ta có $\overrightarrow{SO}=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$, $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$.
$|\overrightarrow{SO}{|}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=a^2\Rightarrow |\overrightarrow{SO}|=a$; $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$.
$\overrightarrow{SO}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=a^2$.
$\cos (SO,AC)=\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow$ góc giữa $SO$ và $AC$ bằng $45^{\circ }$.

Lưu ý: vì $O$ là tâm hình vuông nên $O\in AC$, tức $SO$ và $AC$ cắt nhau tại $O$, góc giữa chúng chính là góc $SOA$. Tam giác $SAC$ cân tại $S$ ($SA=SC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $AC=a\sqrt{2}$) nên góc $SOA=45^{\circ }$, khớp với kết quả toạ độ.

c) $\overrightarrow{OI}=\left(-\frac{a}{2};0;0\right)$, $\overrightarrow{SD}=\left(0;a;-\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$.
$\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{SD}=0+0+0=0\Rightarrow OI\perp SD$.

Cách hình học: $O$ là trung điểm $AC$, $I$ là trung điểm $AD$ nên $OI$ là đường trung bình của tam giác $ACD$, suy ra $OI\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$; vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Do đó $CD\perp (SAD)$ (vì $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ của $(SAD)$). Suy ra $OI\perp (SAD)$, mà $SD\subset (SAD)$ nên $OI\perp SD$.