Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $AB=2CD$, $AB\parallel CD$. $M$ là trung điểm của cạnh $AD$; mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ và song song với mp$(SAB)$. a) Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng $(\alpha )$ với hình chóp $S.ABCD$. b) Tính diện tích của thiết diện biết tam giác $SAB$ đều cạnh bằng 6.

a) Gọi $N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SD,SC,BC$. Ta có: $AB\parallel MQ$; $AS\parallel MN$; $BS\parallel QP$; $AB\parallel MQ$. Thiết diện là hình thang $MNPQ$ (vì $NP\parallel AB\parallel MQ$). b) Gọi $E=AD\cap BC,I=MN\cap PQ$ ta có $S,I,E$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$. Ta có $M$ là trung điểm $AD$, $D$ là trung điểm của $AE$ nên $$\frac{MI}{SA}=\frac{3}{4}\Rightarrow S_{\Delta IMQ}=\frac{9}{16}{S}_{\Delta SAB}$$ $$\frac{NP}{DC}=\frac{1}{2},\frac{DC}{MQ}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{NP}{MQ}=\frac{1}{3}\Rightarrow S_{\Delta INP}=\frac{1}{9}{S}_{\Delta IMQ}$$ Suy ra: $S_{MNPQ}=S_{\Delta IMQ}-S_{\Delta INP}$ $$\Rightarrow S_{MNPQ}=S_{\Delta IMQ}-\frac{1}{9}{S}_{\Delta IMQ}=\frac{8}{9}{S}_{\Delta IMQ}.$$ $$\Rightarrow S_{MNPQ}=\frac{8}{9}\cdot \frac{9}{16}{S}_{\Delta SAB}=\frac{1}{2}{S}_{\Delta SAB}$$ $$=\frac{1}{2}\cdot \frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\approx 7,79$$ (đv diện tích). Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng, giám khảo cho điểm đầy đủ. Câu 3: Học sinh không vẽ hình thì không chấm điểm.