Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm $△SAB$ và $M$ là trung điểm $AB$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.

b) Gọi $F$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $MC$ thỏa mãn $CF=2MF$. Chứng minh $GF\parallel SC$.

c) Gọi $E$ là điểm nằm trên cạnh $AD$, biết $AD=x\cdot AE$, $(x>0)$. Tìm $x$ để $EG\parallel (SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, với $CD\subset (SCD)$, $AB\subset (SAB)$, $AB$ không nằm trong $(SCD)$. Suy ra giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và $d\parallel AB$ (cũng $d\parallel CD$).

b) $F$ nằm trên $MC$ thỏa $CF=2MF$ nên $MF=\frac{1}{3}MC$. $G$ là trọng tâm $△SAB$, $M$ là trung điểm $AB$ nên $G\in SM$ và $\frac{MG}{MS}=\frac{1}{3}$. Xét $△SMC$: $\frac{MG}{MS}=\frac{MF}{MC}=\frac{1}{3}$, suy ra $GF\parallel SC$ (định lý Thales).

c) Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(2;0)$, $D(0;2)$, $C(2;2)$, $M(1;0)$. Ta có $F=M+\frac{1}{3}(C-M)=\left(\frac{4}{3};\frac{2}{3}\right)$. Mặt phẳng qua $G$ song song $(SCD)$ cắt mặt đáy $(ABCD)$ theo đường thẳng qua $F$ song song với $CD$ (tức song song $AB$), vì $EG\parallel (SCD)$ kéo theo $EG\parallel SC$ trong mặt phẳng $(SMC)$, nên $E$ chính là giao của đường thẳng qua $F$ song song $AB$ với $AD$. Đường thẳng qua $F$ song song $AB$ có phương trình $y=\frac{2}{3}$, cắt $AD$ (trục tung) tại $E\left(0;\frac{2}{3}\right)$. Khi đó $AE=\frac{2}{3}$, $AD=2$, nên $AD=3\cdot AE$, tức $x=3$ (thỏa $x>0$, $E$ nằm trên đoạn $AD$). Vậy $x=3$.