Cho hình vuông $(C_1)$ có cạnh bằng $a$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $(C_2)$ (như hình vẽ). Từ hình vuông $(C_2)$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3,...,C_n$. Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i\left(i\in \{1,2,3,...\}\right)$.



Đặt $T=S_1+S_2+S_3+...+S_n+...$. Biết $T=8$, tìm $a$ (làm tròn đến hàng phần chục)

Để trang trí cho một viên gạch lót nền hình vuông cạnh $a$ người ta làm như sau. Cho hình vuông $H_1$ có cạnh bằng $a$. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $H_2$. Lặp lại cách làm như trên với hình vuông $H_2$ để được hình vuông $H_3$.



Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông $H_1,H_2,H_3,\dots ,H_n,\dots$ Gọi $S_n$ là diện tích của hình vuông $H_n$. Nếu $a=2$ thì tổng diện tích tất cả các hình vuông được tạo thành là phân số có dạng $\frac{a}{b};(a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast })$, trong đó $\frac{a}{b}$ tối giản. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

Cho tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$, $OM=ON=5$. Trong tam giác $OMN$, vẽ hình vuông $O{A}_1{B}_1{C}_1$ sao cho các đỉnh $A_1,B_1,C_1$ lần lượt nằm trên các cạnh $OM,MN,ON$. Trong tam giác $A_{1}M{B}_1$, vẽ hình vuông $A_1{A}_2{B}_2{C}_2$ sao cho các đỉnh $A_2,B_2,C_2$ lần lượt nằm trên các cạnh $A_{1}M$, $M{B}_1$, $A_1{B}_1$. Tiếp tục quá trình đó mãi mãi, ta được một dãy các hình vuông (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích các hình vuông này (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$, $OM=ON=5$. Trong tam giác $OMN$, vẽ hình vuông $O{A}_1{B}_1{C}_1$ sao cho các đỉnh $A_1$, $B_1$, $C_1$ lần lượt nằm trên các cạnh $OM$, $MN$, $ON$. Trong tam giác $A_{1}M{B}_1$, vẽ hình vuông $A_1{A}_2{B}_2{C}_2$ sao cho các đỉnh $A_2$, $B_2$, $C_2$ lần lượt nằm trên các cạnh $A_{1}M$, $M{B}_1$, $A_1{B}_1$. Tiếp tục quá trình đó mãi mãi, ta được một dãy các hình vuông (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích các hình vuông này (làm tròn đến hàng phần trăm).

Tổng $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots +{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\cdots$ bằng

Bạn An thả một quả bóng cao su theo phương thẳng đứng từ độ cao 9m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất bóng này lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ so với độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính tổng độ dài hành trình quả bóng di chuyển từ lúc được An thả ra đến khi nằm yên trên mặt đất.

Bạn An thả một quả bóng cao su theo phương thẳng đứng từ độ cao 8m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất bóng này lên độ cao bằng $\frac{2}{5}$ so với độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính tổng độ dài hành trình quả bóng di chuyển từ lúc được An thả ra đến khi nằm yên trên mặt đất.