Bạn An thả một quả bóng cao su theo phương thẳng đứng từ độ cao 9m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất bóng này lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ so với độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính tổng độ dài hành trình quả bóng di chuyển từ lúc được An thả ra đến khi nằm yên trên mặt đất.

Ta có tổng độ dài hành trình quả bóng di chuyển bằng tổng quãng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống.
Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng $\frac{2}{3}$ lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là
$$S_1=9.\frac{2}{3}+9.{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+9.{\left(\frac{2}{3}\right)}^3+\dots +9.{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\dots$$
Ta có $S_1$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=9.\frac{2}{3}=6$ và công bội $q=\frac{2}{3}$
Suy ra $S_1=\frac{u_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac{2}{3}}=18$ (m).
Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên nên ta có $S_2=9+S_1=9+18=27(m)$
Vậy tổng quãng đường bóng bay là:
$$S=S_1+S_2=18+27=45(m)$$