Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 8 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để tạo hình vuông tiếp theo (như hình vẽ). Lặp lại thao tác với hình vuông nhỏ phía trong. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được vẽ.

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=18$ và $u_2=3$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }(u_1+u_2+\dots +u_n)$.

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng 56 và đáy ABCD là hình bình hành. Gọi $A_1,B_1,C_1,D_1$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên $SA,SB,SC,SD$ và $S_1$ là tâm của đáy ABCD, ta được hình chóp $S_1.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ (như hình bên) có thể tích $V_1$. Gọi $A_2,B_2,C_2,D_2$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên $S_1{A}_1,S_1{B}_1,S_1{C}_1,S_1{D}_1$ và $S_2$ là tâm của đáy $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, ta được hình chóp $S_2.A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ có thể tích $V_2$. Cứ tiếp tục như vậy ta được các hình chóp $S_3.A_3{B}_3{C}_3{D}_3,S_4.A_4{B}_4{C}_4{D}_4,\dots ,S_n.A_n{B}_n{C}_n{D}_n$ có thể tích lần lượt là $V_3,V_4,\dots ,V_n$. Giá trị của ${\lim }_{n\to +\infty }\left(V_1+V_2+\dots +V_n\right)$ bằng bao nhiêu?

Cho một hình vuông có cạnh bằng $a$. Người ta nối trung điểm các cạnh của hình vuông đó để tạo ta một hình vuông nhỏ hơn. Từ hình vuông này, người ta lại thực hiện công việc như trên để tạo ra một hình vuông nhỏ hơn nữa và cứ thực hiện công việc như thế mãi mãi. Tính tổng của tất cả các diện tích hình vuông đó.

Xét dãy vô hạn các hình vuông $V_1,V_2,V_3\dots$ được đặt kề nhau như hình vẽ. Trong đó, $V_1$ có cạnh bằng 1 và kể từ hình vuông thứ hai trở đi, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{3}{4}$ cạnh hình vuông kề trước nó. Một con kiến xuất phát từ đỉnh $A$ của $V_1$, đi ngang sang phải và dọc xuống dưới theo các nét tô đậm của tất cả các hình vuông. Tính quãng đường đi được của con kiến.

Cho $S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\cdots +{\left(\frac{-1}{3}\right)}^{n-1}+\cdots$. Tính giá trị $4S$.

Tính tổng $S=1+\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\dots +{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\dots$